¿Cuál es la notación de conjunto correcta para "todos los enteros que no son múltiplos de $7$ "? Mi mejor suposición es:
$$ \{ x : (\forall k \in \mathbb{Z})(\neg(7k = x)) \}$$
O
$$ \{ x : \neg(\exists k \in \mathbb{Z})(7k = x) \}$$
Sin embargo, este parece ser diferente a otros ejemplos que he visto.
¿Existe una forma adecuada de denotar este conjunto en notación de conjuntos?
Obsérvese que para los conjuntos $A$ y $B$ a veces la notación $A-B$ puede utilizarse en otro sentido, concretamente para el conjunto de todas las diferencias $a-b$ donde $a\in A$ y $b\in B$ (claramente esto requiere que $A$ y $B$ provienen de un contexto en el que existe alguna estructura de grupo aditivo (abeliano)).
En este caso preferiría $\Bbb Z - 7\Bbb Z$ en $\Bbb Z \setminus 7\Bbb Z$ ya que este último podría confundirse con $\Bbb Z / 7\Bbb Z$ que es un conjunto completamente diferente.
Mi notación preferida es el símbolo "no divide". $a \nmid b$ lo que significa "a no divide a b". Pero se puede conseguir el mismo significado de diferentes maneras, por ejemplo:
$$\{n\in\Bbb Z: (\nexists k\in\Bbb Z :n/k=7)\}$$
o
$$\{n\in\Bbb Z:n\not\equiv 0\pmod 7\}$$
Pero la notación común es
$$\{n\in\Bbb Z:7\nmid n\}$$
Creo que la línea vertical debería utilizarse en los conjuntos. Así es como se suele hacer:
$$\{x \in \mathbb{Z} \mid \forall z \in \mathbb{Z}: x \neq 7z \}$$
La primera parte nombrando algunos elementos, luego después de la tubería vienen las condiciones para esos elementos. En realidad, nunca he visto que se utilicen los dos puntos en lugar de la pipa en ningún material de clase o libro de matemáticas. Creo que su uso es diferente.
$$\{x \in \mathbb{Z} \mid 7 \nmid x \}$$
Es otra forma más corta, pero como han dicho otros, requiere el conocimiento de la $\nmid$ símbolo.
No creo que debas hacer que la línea vertical haga doble función como ambas tal que y divide al mismo tiempo.
@Zelphir - Tu experiencia es bastante limitada, entonces. ":" es la notación más antigua. Ahora es menos popular, pero como señala Era, si "|" se está utilizando para algún otro propósito en la expresión, mucha gente recurrirá a ":" como el "tal que" para evitar confusiones.
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Paréntesis rizados \{ y \} (en modo matemático). Sus formas están bien. Las palabras son mejores.
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Ambos son correctos. En general: $$\neg (\forall x \in X) P(x) \iff (\exists x\in X) \neg P(x)$$
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¿Qué hay de malo en que (x mod 7 sea diferente de 0)?
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No te olvides de la más sencilla: $\{ x : \text{x is not a multiple of 7} \}$ .
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Tal vez merezca la pena señalar (de forma algo pedante) que cuando dice "todos los números" se refiere, aparentemente, a todos enteros . Aunque el lenguaje de "no múltiplos" no llevaría al lector a sospechar que está cuantificando sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , es es posible creer (como hice inicialmente) que estaba cuantificando sobre $\mathbb{N}$ .
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Para redactar el punto @BenjaminDickman hizo de otra manera: ¿Cuál es el universo de $x$ ?
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Puedes utilizar la notación del máximo común divisor: {x : (x, 7) = 1}
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¿Qué hay de malo en utilizar el inglés? Yo expresaría el conjunto de todos los enteros que no son divisibles por 7 como "el conjunto de todos los enteros que no son divisibles por 7"
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O ese conjunto de enteros que no contiene enteros que puedan ser factorizados en términos de 7. Eso da una visión diferente y podría ayudar a crear otra notación de conjunto pero bastante larga.