523 votos

¿Por qué es de 1-1 / (1-1 /(1-...)) no real?

Así que todos sabemos que la continuación de la fracción que contiene todos los $1$s...

$$ x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \ldots}} $$

los rendimientos de la proporción áurea $x = \phi$, que puede ser fácilmente comprobado por la reescritura como $x = 1 + 1/x$, la solución de la ecuación de segundo grado resultante y suponiendo que la continuación de la fracción que sólo contiene adiciones dará un número positivo.

Ahora, un amigo me preguntó ¿qué pasaría si reemplazamos todas las adiciones con sustracciones:

$$ x = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \ldots}} $$

Yo pensé: "oh, genial, yo sé cómo resolver esto...":

\begin{align} x &= 1 - \frac{1}{x} \\ x^2 - x + 1 &= 0 \end{align}

Y listo, yo...

$$ x \in \{e^{i\pi/3}, e^{-i\pi/3} \} $$

Ummm... ¿por qué una continuación de la fracción que contiene sólo $1$s, la resta y la división de uno de los dos complejos (como contraposición a la real) números?

(Tengo una sensación de que esto es algo así como el $\sum_i (-1)^i$ cosa, que el infinito continuó fracción no está bien definida, a menos podemos expresarlo como el límite de una convergencia de la serie, debido a la interrupción en las fracciones $1 - \frac{1}{1-1}$ etc. no están bien definidos, pero pensé que tenía que pedir una bien fundada respuesta. Incluso si este es el caso, de los dos números complejos tiene "significado"?)

460voto

Patrick Stevens Puntos 5060

Estás tratando de sacar a un límite.

$$x_{n+1} = 1-\frac{1}{x_n}$$

Esta recurrencia en realidad nunca converge, desde cualquier punto de partida real. De hecho, $$x_2 = 1-\frac{1}{x_1}; \\ x_3 = 1-\frac{1}{1-1/x_1} = 1-\frac{x_1}{x_1-1} = \frac{1}{1-x_1}; \\ x_4 = x_1$$

Así que la secuencia es periódica con período 3. Por lo tanto converge si y sólo si es constante; pero la única manera de ser constante es, como usted dice, si $x_1$ es uno de los dos números complejos.

Por lo tanto, lo que tienes en realidad es, básicamente, una prueba por contradicción de que la secuencia no concurre cuando se consideran más de los reales.

Sin embargo, se han encontrado exactamente los dos valores para que la iteración hace converger; que es su significado.

Alternativamente visto, el mapa de $$z \mapsto 1-\frac{1}{z}$$ es una cierta transformación del plano complejo, que tiene exactamente dos puntos fijos. Puede resultar un ejercicio interesante para trabajar de lo que el mapa del plano complejo, y examinar, en particular, lo que hace a los puntos en la recta real.

84voto

Dac0 Puntos 1191

Supongo que lo que estás pidiendo es como el de la unidad imaginaria, es decir, la raíz cuadrada de $-1$ está involucrado. De hecho, se trata de la conocida identidad entre la fracción continua y continua de las raíces cuadradas, es decir, $$ \sqrt{a-b\sqrt{a-b\sqrt{a-b\sqrt{a-b\sqrt{\cdots}}}}}= -\cfrac{a}{b-\cfrac{a}{b-\cfrac{a}{b-\cfrac{un}{\ddots}}}} $$ Entonces usted tiene en su caso $a=1$ $b=1$ $$ \sqrt{1-1\sqrt{1-1\sqrt{1-1\sqrt{1-1\sqrt{\cdots}}}}}= -\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\ddots}}}} $$ La solución es la conocida solución de la ecuación $$ x=a/(b+x)$$ que lleva a que el resultado encontrado.

58voto

Uri Goren Puntos 1133

Muy simple, porque % $ $$a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$no converge.

Por lo tanto la solución de $$x=1-\frac{1}{x}$ $ no es una solución válida.

29voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

¿Incluso mirado en las aproximaciones, es decir, ¿qué pasa si deja de llenar el «$\ldots$"? Usted consigue cosas como esto: $$ 1-\frac1{1-\frac1{1-\frac1{\underbrace{\color{red}{1-\frac1{1}}}_0}}}$ $ y eso significa que siempre hay alguna división por cero al acecho dentro. Por lo tanto, ciertamente no podemos definir esta especie de continuación fracción como el límite de su finito approximants.

25voto

Stephan Aßmus Puntos 16

Este método general que realmente se utiliza. En el libro de 1981 Zetafunktionen und Quadratischer Körper por D. B. Zagier, él usa $$ x = n_0 - \frac{1}{n_1 - \frac{1}{n_2 - \frac{1}{n_3 - \ldots}}} $$ con $n_1,n_2,n_3,\ldots \geq 2$ como su forma básica para representar cuadrática irrationals. En la pregunta anterior, el OP tiene todas las $n_j = 1,$ que Zagier prohíbe. Zagier comienza con esto en la página 126. Es necesario que lo haga porque quiere definir "reducido" indefinido binario cuadráticas formas (página 122) como $A x^2 + B xy + C y^2$ $B^2 - 4AC> 0$ pero no un cuadrado, y $A>0, C>0, B > A+C.$ Aquí vamos, página 126: el número real $w$ es el más grande de la raíz de $Ax^2 - Bx + C=0,$ donde $\langle A,B,C\rangle$ es reducido, si y sólo si la continuación de la fracción (con los signos menos) por $w$ es puramente periódico. Bueno, eso es exactamente cómo debía funcionar. Mientras tanto, así como con las fracciones continuas, para finito de fracciones continuas no queremos $n_j = 1,$, ya que simplemente reemplaza el entero$n_{j-1}$$n_{j-1} - 1.$, por supuesto, infinitas fracciones necesitamos $n_j \geq 2$ para la convergencia.

Oh, Gauss-Lagrange reducido indefinido formas, entero coeficientes, ha $AC<0, B > |A+C|.$ Estos van juntos con la tradicional fracciones continuas. Muy similar teorema puramente periódico fracciones continuas.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: