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Encontrar $\int \sinh^{-1}x\hspace{1mm}dx$

$ $

Me pide usar la siguiente ecuación:

$$\int \tan^{-1}x\hspace{1mm}dx= x\tan^{-1}x-\ln(\sec(\tan^{-1}x))+C$$

$ $

La parte confusa es: Qué tiene $\sinh^{-1}x$ a $\tan^{-1}x$

Cualquier Ideas

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UserX Puntos 3563

$\sinh^{-1}(x)$ no tiene nada que ver con $\tan^{-1}(x)$, no Consejo para encontrar una correlación entre ellos, sugerencias para usar el mismo método para resolver la integral. Este es el indicio latente allí;

$$\int f \mathrm{d}g = fg-\int g \mathrm{d}f$$ $$f=\sinh^{-1}(x), \mathrm{d}f=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x, g=x, \mathrm{d}g=\mathrm{d}x$$ which makes your integral $$\int \sinh^{-1}(x) \mathrm{d}x= x \cdot \sinh^{-1}(x) -\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x$$

Creo que se puede tomar desde aquí.

3voto

Anthony Shaw Puntos 858

La idea es usar integración por partes y sustitución. Por ejemplo, mediante la sustitución $x=\sinh(u)$, obtener $$\begin{align} \int\sinh^{-1}(x)\,\mathrm{d}x &=\int u\,\mathrm{d}x\\ &=xu-\int x\,\mathrm{d}u\\ &=x\sinh^{-1}(x)-\int\sinh(u)\,\mathrm{d}u\\[3pt] \end {Alinee el} $ que es un base integral para funciones hiperbólicas. Si no sabes eso integral, recuerde que \sinh $$ (x) = \frac {e ^ x-e ^ {-x}} {2} \qquad\text {y} \qquad\cosh (x) = \frac {e ^ x + e ^ {-x}} {2} $

1voto

John Joy Puntos 3696

Esto es lo que $\sinh^{-1}x$ tiene que ver con $\tan^{-1} x$. $$\frac{1}{x^2+1} = \bigg(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\bigg)^2$$ $$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x = \bigg(\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x\bigg)^2$$

Este hecho (que tanto de los derivados se basa en $x^2+1$) viene de la semejanza en el %#% siguientes identidades #% % $ $$\sec^2 x=\tan^2x +1$$

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