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Para todos

¿Puede ayudar con la siguiente desigualdad? He encontrado experimentalmente.

Demostrar que, para todas las $x_1,x_2,\ldots,x_n>0$, \sum_ $$ {i = 1} ^ n\frac {x_i} {\sqrt [n] {x_i ^ n + (n ^ n-1) \prod _ {j = 1} ^ nx_j}} \ge 1\,. $$

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wujj123456 Puntos 171

La desigualdad de $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+(n^n-1)\prod _{j=1}^nx_j}} \ge 1$ es trivial dado que la reclamación de abajo. Por supuesto, la igualdad ocurre si, y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$.

Reclamo:Para cada $i=1,2,\ldots,n$, $\displaystyle\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+\left(n^n-1\right)\,\prod_{j=1}^n\,x_j}} \geq \frac{x_i^{1-\frac{1}{n^n}}}{\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}}$. La igualdad ocurre si y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$.

Prueba: La necesaria desigualdad es equivalente a $$\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}\geq \left(n^n-1\right)\,x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}}\,\prod_{j=1}^n\,x_j\,.$$ Tenga en cuenta que la expansión de la $\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n$ se compone de $n^n$ términos de la forma $x_{j_1}^{1-\frac{1}{n^n}}x_{j_2}^{1-\frac{1}{n^n}}\cdots x_{j_n}^{1-\frac{1}{n^n}}$ donde $j_1,j_2,\ldots,j_n\in\{1,2,\ldots,n\}$. El producto de estos términos es igual a $$\left(\prod_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^{n^n}\,.$$ If we take the term $x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}$ out of the product, we get the product of $n^n-1$ terms from the expansion of $\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}$que es entonces igual a $$\frac{\left(\prod_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^{n^n}}{x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}}=x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}\left(n^n-1\right)}\,\prod_{j=1}^n\,x_j^{n^n-1}\,.$$ Por el AM-GM de la Desigualdad, $$\frac{\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}}{n^n-1}\geq \left(x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}\left(n^n-1\right)}\,\prod_{j=1}^n\,x_j^{n^n-1}\right)^{\frac{1}{n^n-1}}=x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}}\,\prod_{j=1}^n\,x_j\,,$$ que es lo que queremos. Por lo tanto, la afirmación es verdadera. La igualdad caso ocurre, debido a la AM-GM de la Desigualdad, si y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$.


¿Cómo puedo obtener el exponente $1-\frac{1}{n^n}$?

Supuse que era $k$ en el primer, y la desigualdad es equivalente a la de $$\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{k}\right)^n-x_i^{nk}\geq \left(n^n-1\right)\,x_i^{n(k-1)}\,\prod_{j=1}^n\,x_j\,.$$ Entonces, la última desigualdad leer $$\frac{\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{k}\right)^n-x_i^{nk}}{n^n-1}\geq \left(x_i^{-nk}\,\prod_{j=1}^n\,x_j^{n^nk}\right)^{\frac{1}{n^n-1}}\,,$$ el lado derecho de que quería a la igualdad de $x_i^{n(k-1)}\,\prod_{j=1}^n\,x_j$. Por lo tanto, $\frac{n^nk}{n^n-1}=1$$n(k-1)=-\frac{nk}{n^n-1}$, ambos de los cuales me dio a $k=1-\frac{1}{n^n}$.

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