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¿Es el centro de la álgebra envolvente universal generada por el centro de la álgebra de mentira?

Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra sobre un campo $k$, y deje $U(\mathfrak{g})$ ser universal de la envolvente de álgebra. $\mathfrak{g}$ es canónicamente incrustado en $U(\mathfrak{g})$; la identifica con su imagen. De fijación (totalmente estándar) notación, vamos

$$Z(\mathfrak{g}) = \{x\in \mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\forall y\in\mathfrak{g}\}$$

ser el centro de la $\mathfrak{g}$ (como una mentira álgebra) y dejar que

$$Z(U(\mathfrak{g})) = \{f\in U(\mathfrak{g}) \mid fg = gf,\forall g\in U(\mathfrak{g})\}$$

ser el centro de la $U(\mathfrak{g})$ (como un álgebra asociativa). El canónica de la incorporación de la $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ también incorpora $Z(\mathfrak{g})$$Z(U(\mathfrak{g}))$. Aquí está mi pregunta:

Es el caso de que $Z(U(\mathfrak{g}))$ es generado como un asociativa $k$-álgebra $Z(\mathfrak{g})$? ¿Cuál es la prueba?

Intuitivamente creo que debería, y he verificado que este a mano con un ad-hoc de cálculo en los casos especiales que $\mathfrak{g}$ es (1) la nonabelian 2-dimensional mentira álgebra $\mathbb{C}$, y (2) el Heisenberg de álgebra. Mientras que mi cálculo "se siente" un poco general, no he sido capaz de ganarse el argumento general de la misma.

Gracias de antemano por sus pensamientos.

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Andreas Blass Puntos 33024

No, el álgebra envolvente universal puede tener un centro no trivial aunque la álgebra de mentira sí mismo tiene sólo $0$ como centro. Concepto del (o por lo menos un) que desea ver es "elemento de Casimir; véase por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_element .

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Homer Puntos 198

Si el centro de la $\mathfrak{g}$ es 0, esto sólo significa que los $U(\mathfrak{g})$ no tiene elementos centrales de grado 1, pero podría ser elementos centrales de grado superior. Hay una natural $\mathfrak{g}$-mapa del módulo $$\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}).$$ Now if, say, $\mathfrak{g}$ is semisimple so that it has a nondegenerate Killing form (a bilinear symmetric invariant form), then there are $\mathfrak{g}$-module isomorphisms $$\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \cong \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^* \cong \text{End}(\mathfrak{g})$$ Clearly $\texto{End}(\mathfrak{g})$ has nonzero central elements, namely scalars, and if you take the corresponding element $\sum e_i \otimes f_i \en \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$ and its image $\sum e_i f_i \en U(\mathfrak{g})$, you get a central element of $U(\mathfrak{g})$ llamado Casimiro elemento.

(No hemos terminado; todavía tenemos que demostrar que el elemento que hemos construido es $\ne 0$. Esto se deduce de la de Poincaré-Birkhoff-Witt teorema.)

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Matt Dawdy Puntos 5479

No, es más grande en general. Este ya es el caso de $\mathfrak{sl}_2$. Más generalmente, vea isomorfismo de Harish-Chandra.

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