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Proving adjoint functors preservar los límites mediante el levantamiento de la adjunción a las categorías de cono

Deje $C$ $D$ categorías y deje $I$ ser cualquiera (tal vez pequeño?) categoría.

$\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}$ $\newcommand{\Ob}{\operatorname{Ob}}$ $\newcommand{\Ar}{\operatorname{Ar}}$ $\newcommand{\id}{\operatorname{id}}$ $\newcommand{\ad}{\mathrm{ad}}$ Decir $F : C \leftrightarrows D : G$ es un par de adjoint functors, $F \dashv G$. A continuación, hay algunos isomorfismo par $$(~_\ad) : \Hom_D(FX,Y) \cong \Hom_C(X,GY) : (~^\ad)$$ natural en $X ∈ \Ob C$$Y ∈ \Ob D$. Quiero demostrar que la $G$ respeta los límites así:

Deje $Q\colon I → D$ ser cualquier diagrama en $D$. Definir las categorías de conos para $Q$ $GQ$ como la coma categorías $D' = (Δ_D,Q)$ $C' = (Δ_C,GQ)$ donde $Δ_C$ $Δ_D$ son de la diagonal functors $C → C^I$ $D → D^I$ respectivamente (y $Q$ $GQ$ están destinados a ser constante functors $\star → D^I$ $\star → C^I$ aquí si uno quiere mantener las cosas formal).

A continuación, $Q$ $GQ$ tienen límites en $D$ $C$ si y sólo si $D'$ $C'$ terminal objetos respectivamente.

Ahora, $F$ $G$ levantar a functors $F' \colon C' → D'$$G' \colon D' → C'$, el uso de la contigüidad. Formalmente, \begin{align} F' \colon C' &→ D' & G' \colon D' &→ C' \\ (x,α,GQ) &↦ (Fx,α^\ad,Q) \quad\text{on %#%#%}& (y,β,Q) &↦ (Gy,Gβ,GQ)\quad\text{on %#%#%}\\ (f,\id_\star) &↦ (Ff,\id_\star)\quad\text{on %#%#%}& (g,\id_\star) &↦ (Gg,\id_\star)\quad\text{on %#%#%}. \end{align} Menos formalmente, mientras que $\Ob C'$ es sólo el de la aplicación de la $\Ob D'$ sobre cualquiera de cono sobre $\Ar C'$, el functor $\Ar D'$ toma de la parte superior de un cono sobre $G'$ $G$mediante la aplicación de $Q$ e incorpora la real de cono con la contigüidad para obtener un cono sobre $F'$. Por la connaturalidad de la contigüidad, esto está bien definido; como $GQ$ $D$ son functors, por lo que se $F$$Q$.

Así que si ahora, podríamos probar a $F$, entonces tenemos que hacer, es decir, Como un derecho adjoint, $G$ obviamente conserva terminal de objetos, así: $F'$ preserva límites.

Es cierto que $G'$? ¿Cómo me puedo ir a probar? O la situación es demasiado desordenado y otra ruta podría ser preferible?

4voto

Arnaud D. Puntos 687

Es verdad que a $F'\dashv G'$, y no demasiado duro para mostrar una vez que tengas la imagen en la mente.

La cosa a notar es que un objeto en $D'$ es un cono sobre $Q$, es decir, un objeto de $y$ $D$ junto con una transformación natural $\beta:\Delta_D(y)\Rightarrow Q$, y una flecha $(y,\beta,Q)\to (y',\beta',Q)$ es sólo una flecha $g:y\to y'$ $D$ que conmuta con $\beta$$\beta'$, en el sentido de que $\beta_i'\circ g=\beta_i$ para todos los objetos $i$ de $I$. $C'$ puede ser descrito de manera similar.

En particular, una flecha $(x,\alpha,GQ)\to (Gy,G\beta,GQ)$ es sólo una flecha $h:x\to Gy$ tal que $G\beta_i\circ h=\alpha_i$, y una flecha $(Fx,\alpha^{ad},Q)\to (y,\beta,Q)$ es sólo una flecha $k:Fx\to y$ tal que $\beta_i\circ k =\alpha_i^{ad}$; por lo que el bijection inducida por la contigüidad $F\dashv G$ restringe (por connaturalidad) a un bijection entre las flechas de un tipo y las flechas de la otra clase, y es natural, puesto que $F'$ $G'$ actúa sobre las flechas como $F$$G$. Por lo tanto $F'\dashv G'$.

4voto

Derek Elkins Puntos 417

Esta respuesta es el propósito de ilustrar "otra ruta" que "podría ser preferible".

En primer lugar, necesitamos una conveniente caracterizaciones de los límites. El más flexible para nuestros propósitos es a través de la representabilidad: $\mathsf{Hom}(X,\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}D(I))\cong\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}\mathsf{Hom}(X,D(I))$ natural en $X$. Esto puede ser tomado como la definición de lo que un límite es asumir que usted sabe lo que son los límites en $\mathbf{Set}$. Alternativamente, usted puede probar fácilmente que esta hecho a partir de otras caracterizaciones de los límites.

El cálculo de ese derecho adjoints preserva límites es entonces simple y directo: $$\begin{align} \mathsf{Hom}(X,G(\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}D(I))) & \cong \mathsf{Hom}(F(X),\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}D(I)) \\ & \cong \mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}\mathsf{Hom}(F(X),D(I)) \\ & \cong \mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}\mathsf{Hom}(X,G(D(I))) \\ & \cong \mathsf{Hom}(X,\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}G(D(I))) \end{align}$$ El resultado deseado, a continuación, sigue por Yoneda. $\square$

Yendo un paso más allá en nuestra caracterización de los límites, podemos calcular (utilizando extremos y la connaturalidad de la fórmula o directamente) que $\mathsf{Nat}(\Delta X,D)\cong\mathsf{Hom}(X,\mathsf{Lim}_{I\in\mathcal{I}}D(I))$ es decir, si además, esto es natural en $D$,$\Delta \dashv \mathsf{Lim}$. Podemos tomar esta contigüidad como nuestra caracterización de tener límites de la forma $\mathcal{I}$. (Nota, antes estábamos hablando sólo de un determinado límite de $D$, ahora estamos hablando de tener el límite de cualquier diagrama de la forma $\mathcal{I}$.) Esta caracterización produce básicamente idénticos derivación: $$\begin{align} \mathsf{Hom}(X,G(\mathsf{Lim}(D))) & \cong \mathsf{Hom}(F(X),\mathsf{Lim}(D)) \\ & \cong \mathsf{Nat}(\Delta(F(X)),D) \\ & = \mathsf{Nat}(F\circ\Delta(X),D) \\ & \cong \mathsf{Nat}(\Delta(X),G\circ D) \\ & \cong \mathsf{Hom}(X,\mathsf{Lim}(G\circ D)) \end{align}$$ $\square$

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