47 votos

¿Por qué podemos usar inducción al estudiar metamatemática?

De hecho no entiendo el significado de la palabra "metamathematics". Sólo quiero saber, por ejemplo, podemos utilizar la inducción matemática en la prueba de teoremas lógicos, como El Teorema de la Deducción, o incluso algunos de los más fundamentales de la proposición como "cada fórmula tiene la igualdad de los números de los soportes izquierdo y derecho"?

Exactamente lo podemos utilizar cuando se habla de metamathematics? Si la inducción es OK, entonces, ¿sobre el axioma de elección/determincacy? Puedo usar el axioma de elección en la colección de conjuntos de fórmulas?(Por supuesto que puede ser sin sentido. Por cierto no entiendo por qué podemos hablar de un "conjunto" de fórmulas)

He pedido a uno de mis compañeros de clase acerca de estos, y me dijo que había dejado de pensar sobre este tipo de cosas. Me siento como dando demasiado......

68voto

sewo Puntos 58

Este no es infrecuente confusión para los estudiantes que se introdujo la lógica formal por primera vez. Esto demuestra que usted tiene un poco mal expectativas acerca de lo que metamathematics es y lo que usted va a salir de ella.

Probablemente usted está esperando que se debe ir más o menos como en el primer análisis real, que comenzó con el profesor diciendo: algo como

En la escuela secundaria, su maestro exigió que tomar un montón de información acerca de los números reales en la fe. Aquí es donde debemos de dejar de tomar esos hechos en la fe y en lugar de demostrar a partir de primeros principios que son verdaderos.

Esto llevó a un montón de hablar de los axiomas y minucioso cuasi-formal de las pruebas de las cosas que ya sabía, y al final del mes en que fueron capaces de reducir todo a un pequeño conjunto de axiomas incluyendo algo así como el supremum principio. Luego, si tienes suerte, Dedekind cortes o secuencias de Cauchy se invoca a convencer a usted de que si creen en los números de contar y un poco de la teoría de conjuntos, también debe creer que hay algo ahí fuera que satisface los axiomas de la línea real.

Esto hace que sea natural esperar que la lógica formal se trabajará de la misma manera:

Como universitarios, los maestros exigieron que tomar un montón de pruebas técnicas (como la inducción) sobre la fe. Aquí es donde vamos a parar el tomar de ellos en la fe y en lugar de demostrar a partir de primeros principios que son válidos.

Pero eso no es lo que pasa. Estás todavía espera a creer en lo ordinario, razonamiento matemático para cualquiera que sea la razón que usted ya hizo-ya sea porque hacen sentido intuitivo, o porque encuentran que las conclusiones a las que conducen habitualmente trabajan en la práctica cuando se tiene la oportunidad de comprobar de ellos, o simplemente porque la autoridad lo dice.

En su lugar, metamathematics es una búsqueda para ser precisos acerca de lo que es ya creer en el, de tal manera que podemos utilizar ordinario razonamiento matemático acerca de los principios para llegar a conocer cosas interesantes acerca de los límites de lo que uno puede esperar para probar y cómo las diferentes opciones de qué llevar en la fe conducen a diferentes cosas que usted puede probar.

O, en otras palabras, la tarea es para uso ordinario de razonamiento matemático para construir un modelo matemático de ordinario razonamiento matemático en sí, que podemos utilizar para el estudio.

Desde metamathematicians está interesado en saber cuánto tomar-en-la fe de la fundación para esto es necesario-o-ordinario-argumento matemático que se hizo, también tienden a aplicar este interés a su propio razonamiento acerca del modelo matemático. Esto significa que son más propensos a tratar de evitar la alta potencia de razonamiento técnicas (como la general de la teoría de conjuntos) cuando pueden, no porque tales métodos prohibidos, sino porque es un hecho interesante que puede ser evitado por tal-y-tal propósito.

En última instancia, sin embargo, es reconocido que existen algunos principios que son tan fundamentales que no podemos hacer nada sin ellos. La inducción de los números naturales es uno de estos. Eso no es un problema: es simplemente un interesante (empírica) de hecho, y después de anotar que el hecho, vamos a utilizar en la construcción de nuestro modelo de ordinario-matemáticas y de razonamiento.

Después de todo, ordinaria razonamiento matemático ya existe - y lo ha hecho por miles de años antes de que la lógica formal fue inventado. No estamos tratando de construir aquí (el modelo no es la cosa en sí), sólo para entender mejor lo que ya tenemos.


Para responder a su pregunta concreta: Sí, se puede ("se") usar el axioma de elección, si es necesario. Es una buena forma de seguir la pista de el hecho de que se han utilizado, de tal manera que usted tiene una respuesta si usted está preguntó más tarde, "el metamathematical argumento de que solo se lleva a cabo, puede que sí habrá de ser formalizada en tal-y-tal sistema?" La formalización de metamathematical argumentos dentro de su modelo ha demostrado ser muy potente (aunque también confuso) manera de establecer ciertos tipos de resultados.

Usted puede utilizar el axioma de determinación demasiado, si que flota su barco-siempre y cuando estés consciente de que al hacerlo no es realmente "ordinario razonamiento matemático", por lo que se convierte en doblemente importante para divulgar fielmente lo que has hecho así que cuando usted presente su resultado (no sea que alguien intenta combinarlo con algo que se encuentra utilizando de CA en lugar de ello, y obtener un sinsentido de la combinación).

14voto

MJD Puntos 37705

Esto no es en absoluto la intención de ser una respuesta a su pregunta. (Me gusta Henning Makholm la respuesta de arriba.) Pero pensé que podría estar interesado en escuchar Thoralf Skolem de comentarios sobre este tema, porque son bastante pertinentes-en particular uno de sus puntos va exactamente a su pregunta sobre lo que prueba que cada fórmula tiene la igualdad de los números de los soportes izquierdo y derecho -, pero son demasiado largas para poner en un comentario.

Set-teóricos generalmente son de la opinión de que la noción de número entero debe ser definido, y que el principio de inducción matemática debe ser probado. Pero está claro que no podemos definir o probar ad infinitum; más pronto o más tarde llegamos a algo que no es definible o demostrable. Nuestra única preocupación, entonces, debe ser que la inicial fundaciones ser algo inmediatamente evidente, natural, y no se abre a la pregunta. Esta condición se satisface a través de la noción de número entero y por inferencias inductivas, pero decididamente no está satisfecho por el conjunto de la teoría de los axiomas del tipo de Zermelo s o cualquier otra cosa de ese tipo; si fuéramos a aceptar la reducción de las antiguas nociones a esto último, el conjunto teórico de las nociones tendría que ser más simple que la inducción matemática y razonamiento con menos discutible, pero esto va totalmente en contra de que el estado actual de la cuestión.

En un papel (1922) de Hilbert hace el siguiente comentario acerca de Poincaré de la afirmación de que el principio de inducción matemática no es comprobable: "Su objeción de que este principio no podría ser probado en cualquier otra forma que por la inducción matemática en sí es injustificada y que es refutado por mi teoría." Pero entonces la gran pregunta es si podemos demostrar este principio, por medio de simples principios y sin el uso de cualquier propiedad de finito de expresiones o fórmulas que a su vez descansa sobre la inducción matemática o es equivalente a ella. A mí me parece que este último punto no fue lo suficientemente tomados en consideración por Hilbert. Por ejemplo, hay en su papel (en la parte inferior de la página 170), por un lexema, una prueba en la que él hace uso del hecho de que en cualquier aritmética de la prueba en la que un determinado signo se produce ese signo necesariamente debe ocurrir por primera vez. Evidente a pesar de que esta propiedad puede ser sobre la base de nuestra percepción de la intuición finito de expresiones, una prueba formal de que sin duda puede ser dada solamente por medio de la inducción matemática. En la teoría de conjuntos, en cualquier caso, hemos de ir a la dificultad de probar que todos los pedidos de conjunto finito es bien ordenado, es decir, que cada subconjunto tiene un primer elemento. Ahora ¿por qué debemos cuidadosamente probar esta última propuesta, pero no la de arriba, que afirma que la propiedad correspondiente se sostiene de la aritmética finita expresiones que ocurren en las pruebas? O es el uso de esta propiedad no es equivalente a una inferencia inductiva?

No me voy a Hilbert de papel en más detalle, sobre todo porque he visto sólo en su primera comunicación. Solo quiero añadir el siguiente comentario: es curioso ver que, desde el intento de encontrar una base para la aritmética en la teoría de conjuntos no ha sido muy exitoso debido a lógicas dificultades inherentes en este último, los intentos, y, de hecho, muy artificial, ahora se está tratando de encontrar un fundamento diferente-como si la aritmética no había ya un fundamento adecuado en inferencias inductivas y definiciones recursivas.

(Fuente: Thoralf Skolem, "Algunas observaciones sobre axiomatized la teoría de conjuntos", discurso en el v Congreso de los Escandinavos, los Matemáticos, de agosto de 1922. Traducción al inglés en la De Frege a Gödel, p299–300. Jean van Heijenoort (ed.), Harvard University Press, 1967.)

Creo que es interesante leer esto a la luz de Henning Makholm excelente respuesta, que creo que está en armonía con Skolem. No sé si Hilbert respondió a Skolem.

4voto

John Coleman Puntos 121

Metamathematics es de matemáticas aplicado para el estudio de las matemáticas. Por lo tanto, metamathematics es matemáticas, y el uso de la inducción en metamathematics es tan problemático como el uso de derivados cuando el estudio de las ecuaciones diferenciales.

La confusión podría estar basada en el hecho de que la metafísica está claro que no es física, sino que podría ser considerado como la rama de la filosofía que estudia los presupuestos de la física. Hay una tendencia a ver metamathematics como otra palabra para la filosofía de la matemática. Mientras que es evidente que existe una cierta superposición entre los dos, simplemente no son la misma cosa. La filosofía de las matemáticas a menudo se utiliza metamathematics como una herramienta, de la misma manera que la filosofía analítica, a veces, utiliza la lógica simbólica o la filosofía de la ciencia a veces se utiliza el teorema de Bayes. La filosofía de la matemática no es agotado por las preguntas para que metamathematics es la herramienta adecuada. Al menos una parte de la filosofía de las matemáticas se refiere argumentando a favor de la validez del razonamiento matemático, incluida la de inducción. Obviamente, sería una petición de principio para el uso de la inducción para demostrar la validez de la inducción, y en algunos contextos que sería perfectamente correcto oponerse a tales cosas. Pero, cuando se trata de la teoría matemática de la lógica formal, las preocupaciones están fuera de lugar.

1voto

W. Edwin Clark Puntos 117

Me acuerdo de esa frase en el principio de Kleene el libro de la Lógica Matemática:

"Va a ser muy importante como procedemos a tener en cuenta esta distinción entre la lógica que estamos estudiando (el objeto de la lógica) y nuestro uso de la lógica en el estudio (el observador de la lógica). A cualquier estudiante que no está preparado para ello, le sugerimos que cierre el libro ahora, y elegir algunas de otros sujetos en su lugar, tal como acrósticos o la apicultura."

Desde las páginas 3 y 4 de Stephen Kleene el libro de la Lógica Matemática

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: