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Es el poder conjunto de los números naturales contables?

Algunas explicaciones: Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva $f$ $S$ a los números naturales ($f:S \rightarrow \mathbb{N}$).

$\{1,2,3,4\}, \mathbb{N},\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ son todos contables.

$\mathbb{R}$ no es contable.

El juego de poder $\mathcal P(A) $ se define como un conjunto de todos los posibles subconjuntos de A, incluyendo el conjunto vacío y el conjunto.

$\mathcal P (\{\}) = \{\{\}\}, \mathcal P ( \mathcal P (\{\})) = \{\{\}, \{\{\}\}\} $

$\mathcal P({1,2}) = \{\{\}, \{1\},\{2\},\{1,2\}\}$

Mi pregunta es:

Es $\mathcal P (\mathbb{N})$ contables? ¿Cómo sería una función inyectiva $f:S \rightarrow \mathbb{N}$?

67voto

sewo Puntos 58

El Cantor del Teorema establece que para cualquier conjunto a $A$ no hay surjective función de $A\to\mathcal P(A)$. Con $A=\mathbb N$ esto implica que $\mathcal P(\mathbb N)$ no es contable.

(Pero en la tierra donde encontraste esas buenas explicaciones de countability y conjuntos de poder que no diga esto?)

12voto

Moskie Puntos 116

El poder conjunto de los números naturales tiene la misma cardinalidad con los números reales. Así, es incontable.

Para ser rigurosos, he aquí una prueba de ello.

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