6 votos

Calcular el número de cubos pequeños que forman el cubo grande dado el número de la capa más externa

Tengo un gran cubo formado por muchos cubos más pequeños. Cada cara del cubo es idéntica, y todos los cubos más pequeños son idénticos. Necesito calcular el número de cubos pequeños que componen el cubo grande. Para que quede claro, el cubo es sólido (formado por pequeños cubos hasta el final).

El único valor que tengo para calcularlo es el número de cubos pequeños que componen la capa más externa. Este número es $100,614,152$ .

¿Cuál es la forma más sencilla de calcular el número total de cubos pequeños que componen el cubo grande?

0 votos

¿Son estos los deberes?

0 votos

No, es para un artículo del blog que estoy escribiendo

2 votos

Supongo que esta pregunta es por curiosidad :-)

9voto

Sea el cubo grande de dimensión $(x+2)$ (compuesto por $(x+2)^3$ cubos más pequeños). A continuación, $(x+2)^3-x^3=100,614,152$ . Esto se reduce a una ecuación cuadrática que puedes resolver.

1 votos

No del todo: sería $(x+1)^3 - (x-1)^3 = 100,614,152$ . Edición: la respuesta ha sido corregida.

6voto

Kevin Moore Puntos 376

Dejemos que $x$ sea el número de cubos pequeños a lo largo de cada arista del cubo grande. Entonces cada cara del cubo grande contiene $x^2$ cubos pequeños. $6x^2$ no es el número total de cubos alrededor del exterior, porque estamos contando dos veces los cubos a lo largo de cada una de las aristas, así que tenemos que restar $12x$ . Entonces no estamos contando los cubos de las esquinas (los contamos tres veces -una en cada cara- y los restamos tres veces), así que tenemos que volver a sumar 8. Así que tenemos $$6x^2 -12x + 8 = 100,614,152.$$ Ahora esto es una simple cuadrática. Combina los términos de un lado y utiliza la fórmula cuadrática (o Wolfram Alpha ) para encontrar que $x = 4096$ .

2voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Si un gran cubo se divide en $n$ cubos más pequeños, entonces hay $n^3$ cubos. Quitando la capa exterior, nos queda $(n-2)^3$ cubos. La diferencia es $$ n^3-(n-2)^3= n^3-(n^3-6n^2+12n-8)=6n^2-12n+8$$ y esto será igual a $N=100614152$ . Por lo tanto, una buena aproximación para $n$ viene dada por $$n=\sqrt {\frac N 6}\approx 4095.0004$$ Sin embargo, $n=4095$ lleva a $6n^2-12n+8=100565018$ No es el resultado esperado. Pero con $n=4096$ El resultado es correcto: $6n^2-12n+8=100614152$ .

Obsérvese que al intentar calcular la solución de $$6n^2-12n+(8- 100614152)$$ no habría sido fácil debido a los errores de redondeo.

0 votos

Errores de redondeo, pfft. Puedes hacer ese cálculo usando una representación exacta, como números ciclotómicos

0 votos

Secundando el comentario de Ben, no estoy seguro de qué errores de redondeo esperas; esta no es una ecuación con grandes cantidades de cancelación ya que $b^2\not\approx 4ac$ Así que sólo hay que dividir por 6 para obtener $n^2-2n-16769024=0$ y luego usar la fórmula cuadrática estándar está bien. Tienes que sacar la raíz cuadrada del número de ocho dígitos 67076100 pero eso es esencialmente una cuestión trivial.

0 votos

Tienes razón, ni siquiera lo probé y tenía en min que la otra solución podría ser $\approx0$ aunque, por supuesto, es $\approx -n$ .

1voto

Sea el tamaño del cubo pequeño $1 \times 1 \times 1$ y el tamaño del cubo más grande sea $n \times n \times n$ . El número de cubos más pequeños en la superficie exterior viene dado por $$\underbrace{2n^2}_{\text{Cover two opposite sides}} + \underbrace{2n(n-2)}_{\text{Cover next pair of opposite sides}} + \underbrace{2(n-2)^2}_{\text{Cover the remaining pair of opposite sides}}$$

0voto

marty wollner Puntos 1

el recuento total de cubos aumenta a medida que se añaden más y más cubos alrededor de un cubo existente. cada "nivel" se define como la finalización de la adición de una capa entera de cubos concéntricos que rodean el nivel anterior.

el nivel 0 no tiene cubos

el nivel 1 es UN cubo

el nivel 2 rodea al nivel 1 con 8 más, 9 cubos totales en cada uno de los 3 planos, total = 27

nivel 3 surr los 9 en l-2 /w 16 más, total 25 cubos en cada uno de los 5 planos, total = 125

nivel 4 surr los 25 en l-3 /w 24 más, total 49 cubos en cada uno de los 7 planos, total = 343

nivel 5 surr los 49 en l-4 /w 32 más, total 81 cubos en cada uno de los 9 planos, total = 729

etc...

estos números, 0, 1, 27, 125, 343, 729 representan cada uno el recuento total de cubos en cualquier nivel concéntrico dado. llamémosle CC_T_n que significa Recuento de Cubos _ Total _ en el nivel n.

Me lo imaginé:

CC_T_n = ((n * 2) - 1) ^ 3

estamos interesados en el conteo de cubos requeridos para rodear un bloque más pequeño de cubos; ¡Exactamente lo que estoy haciendo aquí! llamemos a esto CC_OL_n que significa el conteo de cubos _ capa exterior _ en el nivel n.

si lo piensas, esto será igual a la cuenta total de cubos en cualquier bloque en el nivel n menos la cuenta total de cubos en el bloque en el nivel n - 1; ¿por qué? porque, ¡la cuenta total en el nivel n - 1 es la cuenta de bloques que la cuenta en el nivel n debe cubrir!

y así, CC_OL_n = CC_T_n - CC_T_n-1, que es igual:

(((n * 2) - 1) ^ 3) - ((((n - 1) * 2) - 1) ^ 3)

Trabajando esto a través de los niveles consecutivos, obtuve los siguientes resultados:

l-0 CC_T_0 = 0

l-1 CC_T_1 = 1, CC_OL_1 = 1

l-2 CC_T_2 = 27, CC_OL_2 = 26

l-3 CC_T_3 = 125, CC_OL_3 = 98

l-4 CC_T_4 = 343, CC_OL_4 = 218

l-5 CC_T_5 = 729, CC_OL_5 = 386

l-6 CC_T_6 = 1331, CC_OL_6 = 602

l-7 CC_T_7 = 2197, CC_OL_7 = 866

etc...

He escrito la siguiente cadena en Google:

1,26,98,218,386,602,866

y encontré un sitio web que clasifica varias secuencias numéricas. tenía una referencia a un tipo llamado Xavier Acloque con un comentario "Números de cubos necesarios para "cubrir" completamente otro cubo".

marty wollner thetruth-machine.com

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X