5 votos

Tiene problemas para entender una ecuación de la serie infinita

He estado pasando algunas series de notas de mi conferencia y se atascó en esta igualdad: $$\left(\sum_{j=0}^\infty\frac{z^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!}\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{j=0}^n\frac{z^jw^{n-j}}{j!(n-j)!}$ $ donde $z,w\in\mathbb C$.

En lugar de una prueba, estoy buscando para una manera de entender esta igualdad, por lo que la próxima vez que veo algo similar ir "oh, bien, sé". Ahora sólo tengo ideas vagas de por qué eso sería cierto.

¡Gracias un montón por cualquier ayuda!

33voto

Anthony Shaw Puntos 858

Este es un ejemplo del cambio de orden de suma (reagrupando términos). Formalmente (sin preocuparse por convergencia), el producto $$\begin{align} \left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right)\left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) &=\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_ib_j\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^k a_{k-j}b_j\tag{2} \end {Alinee el} $$ $(1)$ es la multiplicación distribuye sobre la adición.

$(2)$ es un cambio de variables: $i+j=k$

Cada producto en $(1)$ aparece una vez y otra sólo en $(2)$.

3voto

Michael Hardy Puntos 128804

$$ (1+2+3+4+\cdots)\cdot\left(\begin{array} {} & \text{one} \\[6pt] + & \text{two} \\[6pt] + & \text{three} \\[6pt] + & \text{four} \\[6pt] + & \cdots \end{array}\right) $$ $$ = \sum \left [\begin{array}{cccc} 1\cdot\text{one}, & 2\cdot\text{one}, & 3\cdot\text{one}, & 4\cdot\text{one}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{two}, & 2\cdot\text{two}, & 3\cdot\text{two}, & 4\cdot\text{two}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{three}, & 2\cdot\text{three}, & 3\cdot\text{three}, & 4\cdot\text{three}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{four}, & 2\cdot\text{four}, & 3\cdot\text{four}, & 4\cdot\text{four}, & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] $$\begin{align} & = \cdots\cdots\cdots +\sum\left[ \begin{array}{cccc} \cdot & \cdot & 3\cdot\text{one}, & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & 2\cdot\text{two}, & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{three}, & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] \\[18pt] y {} \qquad\qquad\qquad{}+ \sum\left [\begin{array}{cccc} \cdot & \cdot & \cdot & 4\cdot\text{one}, & \cdots\\[6pt] \cdot & \cdot & 3\cdot\text{two}, & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & 2\cdot\text{three}, & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{four}, & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] + \cdots\cdots\cdots \end{align}

1voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Multiplicando el $j$ término de la izquierda con el término de #% de #% % a la derecha le $k$. Ahora si $\dfrac{z^j w^k}{j! k!}$, esto es $j+k=n$. Desde $\dfrac{z^j w^{n-j}}{j! (n-j)!}$ y $j$ pueden ser cualquier no negativos números enteros, lo mismo es cierto para $k$. Dadas $n$, $n$ puede ser cualquier entero de $j$ $0$.

1voto

sjw Puntos 204

Dada la serie puede ser escrita

$=e^z e^w =e^{z+w}=\sum_{n=0}^\infty =\sum \sum....$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X