5 votos

Distribución de probabilidad para la posición de un caminante al azar sesgada sobre los enteros positivos

Yo inicializar una visión sesgada de una dimensión de paseo aleatorio en los enteros positivos en el origen, $x = 0$, lo que también sirve como un espejo de límite de bloqueo de pasos en los números enteros negativos. Digamos que un $+1$ paso para el caminante ha de probabilidad $p$, y un $-1$ paso (distancia desde el origen) tiene probabilidad de $q$ donde $(p+q) \leq 1$ permitiendo el andador para permanecer en el lugar con una probabilidad de $r = 1 - (p+q)$.

Si $p < q$, ¿cuál es la distribución de probabilidad para el caminante sobre los enteros positivos? Cuáles son las consecuencias si $p = q$ siempre que una 1D paseo aleatorio no debería ser transitorio?

Siempre he apelado a las simulaciones cuando este tipo de problemas surgen, sin embargo, la formulación de este sistema parece bastante simple que me imagino una solución analítica debería existir (más allá de la generalización que debería tener el exponencial aumento de golpear las veces que aumentar de forma lineal la distancia al origen)? Hay una formulación de, por ejemplo, el Jugador de la ruina que se ocupa de este problema? Por supuesto que podemos eliminar refleja el límite de decisiones $p$ la probabilidad de que se aleje del origen, $q$ la probabilidad de caminar hacia el origen, etc.

Algunas preguntas adicionales que vienen a la mente: ¿cuanto tiempo tardaría un colocados al azar walker para lograr esta distribución? Si colocamos un andador en el origen, lo justo o injusto sería asumir que el golpear tiempo en algún sitio de $x_{t}$ sería proporcional a su probabilidad de ocupación de la distribución? Y, en el caso que esto es injusto, lo que hace que la distribución de probabilidad aspecto inicial de golpear a los tiempos en los enteros positivos, condicionado a que el caminante se inicializa en el origen?

Aclaración - Un andador puede ocupar el origen, aunque en este caso, tenemos una $-1$ paso probabilidad de $q = 0$, el mismo $+1$ paso probabilidad de $p$, y una probabilidad de permanecer en el origen de un paso de $r = (1 - p)$.

2voto

Nikolai Prokoschenko Puntos 2507

Para su distribución estable intente $$P(X=n) = \left(\frac{p}{q}\right)^n \left(1-\frac{p}{q}\right)$$ which satisfies $ P(X=n) = p P(X=n-1) +(1-p-q) P(X=n) + q P (X = n + 1) $ and sums to $1$.

Si $p=q$ está en una situación similar a un paseo aleatorio estándar, en que la probabilidad de un retorno al origen es $1$, pero no hay ninguna distribución estable como cualquier distribución inicial se ensancha con el tiempo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X