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La probabilidad de entero aleatorio de dígitos sumar a 12

¿Cuál es la probabilidad de que un entero aleatorio entre 1 y 9999 tendrá dígitos que se suma a los 12?

Como un usuario sugirió, yo podría hacer una hoja de cálculo y el número de ellos, pero hay una forma más rápida para hacer esto?

29voto

MJD Puntos37705

El problema no requiere de una hoja de cálculo. Incluso no requiere de papel.

La pregunta es contar el número de enteros tuplas $\langle a,b,c,d\rangle$$a+b+c+d=12$$0\le a,b,c,d < 10$. Podríamos enumerar esta eligiendo $a$ y luego contar las tuplas $\langle b,c,d\rangle$$b+c+d = 12-a$, y recursing, pero un método más sencillo está disponible.

En primer lugar, tenga en cuenta que si dejamos caer el $a,b,c,d < 10$ restricción, el problema es fácil. Por las estrellas y las barras de método, hay $\binom{15}{12} = 455$ tuplas que suma 12.

A partir de estos 455 necesitamos eliminar de las que contienen $10, 11,$ o $12$. Deje $t_i$ el número de tuplas donde$a =i$$i\in\{10,11,12\}$. Claramente, $t_{12} = 1$: la única tupla es $\langle 12, 0,0,0\rangle$. Para $a=11$ necesitamos $b+c+d=1$, por lo que exactamente uno de $b,c,d$ es 1 y los otros dos son 0, y por lo tanto $t_{11} = 3$.

Para $a=10$ hay dos posibilidades. Cualquiera de las $\{b,c,d\} = \{2,0,0\}$ o $\{b,c,d\} = \{1,1,0\}$. En cualquier caso hay 3 tuplas, por lo $t_{10} = 6$.

Ya que en la mayoría de los una de $a,b,c,d$ es mayor que 9, el número total de tuplas que contienen 10, 11, o 12 $4(t_{10}+t_{11}+t_{12}) = 40$.

Así, el número total de tuplas de sólo el 0 hasta el 9, y la respuesta a la pregunta, es 455 - 40 = 415; la probabilidad es $\frac{415}{9999}$.

15voto

Eric Jablow Puntos1547

Uso de funciones de generación. La generación de la función de un solo dígito es:

$$1 + x + \cdots + x^9 = \frac{1-x^{10}}{1-x}.$$

La generación de la función de la suma de cuatro dígitos es el cuarto poder:

$$\frac{(1-x^{10})^4}{(1-x)^4} = (1-x^{10})^4 (1-x)^{-4}.$$

Para resolver el problema, encontrar el coeficiente de $x^{12}$.

$$(1-x^{10})^4 = 1 -4 x^{10} + 6 x^{20} - \cdots$$

Así, sólo se necesitan los coeficientes de $x^2$ $x^{12}$ $(1-x)^{-4}$ el uso de la generalizada del teorema del binomio. Estas son las $\binom{5}{2} = 10$$\binom{15}{12} = 455$. El coeficiente de $x^{12}$ es por lo tanto

$$ -4\cdot10 + 1\cdot455 = 415.$$

Así que la respuesta es $\frac{415}{9999}$.

10voto

Will Green Puntos758

Con código de Mathematica (DE 1 A 9999):

Count[Map[Total, IntegerDigits[Range[9999]]], 12]

415

Así: 415/9999

5voto

bentsai Puntos1886

Sólo así la BRECHA no se quedan fuera. He aquí una BRECHA de la versión para obtener el recuento:

Number([1..9999],n->Sum(ListOfDigits(n))=12);

que devuelve 415. Así, la probabilidad es $415/9999$.

4voto

Hagen von Eitzen Puntos171160

Con PARI/GP código

Q(n)=if(n<10,n,n%10 + Q(n\10))

sum(i=1,9999,Q(i)==12)/9999

Puedo obtener $$\frac{415}{9999}.$$

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