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Cómo Determinar si una Función es uno a Uno

Estoy buscando la "mejor" manera de determinar si una función es uno a uno, ya sea en forma algebraica o con el cálculo. Sé común, sin embargo, podría decirse método poco fiable para la determinación de esta respuesta sería la gráfica de la función. Sin embargo, esto puede llegar a ser un arriesgado método para encontrar una respuesta a esto depende en gran medida de la precisión de la calculadora gráfica, zoom, etc...

¿Cuál es el mejor método para encontrar que una función es uno a uno? En su descripción, podría por favor elaborar, demostrando que se puede demostrar la siguiente:

Este es uno-a-uno: $\frac{x-3}{x+2}$

Este no es uno-a-uno: $\frac{x-3}{x^3}$

53voto

Joe Lencioni Puntos 4642

Para mostrar que $f$ es de 1-1, se puede mostrar que el $$f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y.$$ Así, por ejemplo, para $f(x)={x-3\over x+2}$:

Supongamos ${x-3\over x+2}= {y-3\over y+2}$. Entonces: $$ \eqalign{ &{x-3\over x+2}= {y-3\y+2} \cr \Longrightarrow& (y+2)(x-3)= (y-3)(x+2)\cr \ffi& yx+2x-3y-6= yx-3x+2y-6\cr \ffi&2x-3y =-3x+2y\cr \ffi&2x+3x =2y+3y\cr \ffi&5x =5 a\cr \ffi&x=y. } $$ Por lo $f(x)={x-3\over x+2}$ es de 1-1.

Voy a dejar que muestra que $f(x)={{x-3}\over 3}$ es de 1-1.

Alternativamente, para mostrar que $f$ es de 1-1, se puede mostrar que el $$x\ne y\Longrightarrow f(x)\ne f(y).$$

O, para demostrar que una diferenciable $f$ es de 1-1, se puede mostrar que su derivado $f'$ es siempre positiva o siempre negativa.




Usted descubrirá que una función $g$ no es de 1-1, si, cuando se utiliza el primer método anterior, se encuentra que la ecuación se satisface para algunos $x\ne y$. Por ejemplo, tome $g(x)=1-x^2$. Entonces

$$ \eqalign{ y g(x)=g(y)\cr \ffi&{1-x^2}= {1-y^2} \cr \ffi&-x^2= -y^2\cr \ffi&x^2=y^2\cr} $$ La ecuación anterior tiene $x=1$, $y=-1$ como una solución. Así, no es$x\ne y$$g(x)=g(y)$; por lo tanto $g(x)=1-x^2$ no es 1-1.

Por supuesto, para mostrar $g$ no es de 1-1, sólo necesita encontrar dos valores distintos de la entrada de valor de $x$ que dan a $g$ el mismo valor de salida.


Aunque usted razón señalar que el método gráfico es poco fiable; es instructivo considerar los métodos que se utilizan y por qué funcionan:

Gráficamente, puede utilizar cualquiera de los siguientes:

  1. El uso de la "Línea Horizontal de la Prueba":

    $f$ es de 1-1 si y sólo si toda recta horizontal corta a la gráfica de $f$ en más de un punto. Tenga en cuenta que esto es sólo la gráfica interpretación de la "si $x\ne y$$f(x)\ne f(y)$"; desde el puntos de intersección de una línea horizontal con la gráfica de $f$ dar $x$ valores por los que $f(x)$ tiene el mismo valor (es decir, el $y$intercepto de la línea).

  2. Utilice el hecho de que una continua $f$ es de 1-1, si y sólo si $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Esto, por supuesto, es equivalente al derivado de ser siempre positiva o siempre negativo en el caso de que $f$ es diferenciable. (Nota: este método sólo se aplica a la función de green de la siguiente).

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17voto

Dan Walker Puntos 3466

Un uno-a-uno de la función es una función inyectiva. Una función de $f:A\rightarrow B$ es una inyección si $x=y$ siempre $f(x)=f(y)$.

Ambas funciones $f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$ $f(x)=\dfrac{x-3}{3}$ son inyectiva.

Vamos a demostrar que para el primero

$$ \begin{eqnarray*} f(x) &=&f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}=\frac{y-3}{y+2} \\ &\Rightarrow &\left( y+2\right) \left( x-3\right) =\left( y-3\right) \left( x+2\right) \qquad(\text{for }x\neq-2,y\neq -2)\\ &\Rightarrow &xy-3y+2x-6=xy+2y-3x-6 \\ &\Rightarrow &-3y+2x=2y-3x\Leftrightarrow 2x+3x=2y+3y \\ &\Rightarrow &5x=5y\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*}$$

Así llegamos a la conclusión de que $f(x) =f(y)\Rightarrow x=y$, como se indica en la definición.

En cuanto a la segunda, tenemos $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{3} \Rightarrow &x-3=y-3\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*} $$

Un ejemplo de un no inyectiva función es $f(x)=x^{2}$ porque $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow x^{2}=y^{2} \Rightarrow x=y\quad \text{or}\quad x=-y. \end{eqnarray*} $$

5voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Para su modificados segunda función $f(x) = \frac{x-3}{x^3}$, se puede notar que $$f(x) - f(y) = \frac{(x-y)((3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2)}{x^3 y^3}$$ Como un polinomio cuadrático en $x$, el factor $ (3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2$ has discriminant $s^2 (9+y)(y-3)$. So when either $y > 3$ or $y < -9$ this produces two distinct real $x$ such that $f(x) = f(y)$.

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