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Cómo determinar si una función es uno a uno

Estoy buscando la "mejor" manera de determinar si una función es uno-a-uno, ya sea algebraicamente o con el cálculo. Sé que un método común, aunque podría decirse que no es fiable, para determinar esta respuesta sería graficar la función. Sin embargo, este puede ser un método arriesgado para encontrar dicha respuesta, ya que depende en gran medida de la precisión de su calculadora gráfica, su zoom, etc.

¿Cuál es el mejor método para encontrar que una función es uno a uno? En su descripción, ¿podría detallar mostrando que puede demostrar lo siguiente:

Esto es uno a uno: $\frac{x-3}{x+2}$

Esto no es uno a uno: $\frac{x-3}{x^3}$

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La composición de funciones 1-1 también es 1-1.

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Creo que el núcleo de la función puede ayudar a determinar la naturaleza de una función. Hay un teorema o dos que lo involucran, pero no recuerdo los detalles.

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Joe Lencioni Puntos 4642

Para demostrar que $f$ es 1-1, se puede demostrar que $$f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y.$$ Así, por ejemplo, para $f(x)={x-3\over x+2}$ :

Supongamos que ${x-3\over x+2}= {y-3\over y+2}$ . Entonces: $$ \eqalign{ &{x-3\over x+2}= {y-3\over y+2} \cr \Longrightarrow& (y+2)(x-3)= (y-3)(x+2)\cr \iff& yx+2x-3y-6= yx-3x+2y-6\cr \iff&2x-3y =-3x+2y\cr \iff&2x+3x =2y+3y\cr \iff&5x =5y\cr \iff&x=y. } $$ Así que $f(x)={x-3\over x+2}$ es 1-1.

Voy a dejar de mostrar que $f(x)={{x-3}\over 3}$ es 1-1 para ti.

Alternativamente, para demostrar que $f$ es 1-1, se puede demostrar que $$x\ne y\Longrightarrow f(x)\ne f(y).$$

O, para demostrar que una diferenciable $f$ es 1-1, se puede demostrar que su derivada $f'$ es siempre positivo o siempre negativo.

Descubrirías que una función $g$ no es 1-1, si, al utilizar el primer método anterior, se encuentra que la ecuación se satisface para algunos $x\ne y$ . Por ejemplo, tome $g(x)=1-x^2$ . Entonces

$$ \eqalign{ &g(x)=g(y)\cr \iff&{1-x^2}= {1-y^2} \cr \iff&-x^2= -y^2\cr \iff&x^2=y^2\cr} $$ La ecuación anterior tiene $x=1$ , $y=-1$ como solución. Por lo tanto, hay $x\ne y$ con $g(x)=g(y)$ por lo tanto $g(x)=1-x^2$ no es 1-1.

Por supuesto, para mostrar $g$ no es 1-1, sólo hay que encontrar dos valores distintos del valor de entrada $x$ que dan $g$ el mismo valor de salida.


Aunque usted señala con razón que el método gráfico no es fiable, no deja de ser instructivo considerar los métodos utilizados y por qué funcionan:

Gráficamente, puede utilizar cualquiera de las siguientes opciones:

  1. Utilice la "Prueba de la línea horizontal":

    $f$ es 1-1 si y sólo si toda línea horizontal interseca la gráfica de $f$ como máximo en un punto. Nótese que esto es sólo la interpretación gráfica de interpretación de "si $x\ne y$ entonces $f(x)\ne f(y)$ "; ya que los puntos de intersección de una línea horizontal con la gráfica de $f$ dar $x$ valores para los que $f(x)$ tiene el mismo valor (es decir, el $y$ -intercepción de la línea).

  2. Utilizar el hecho de que un continuo $f$ es 1-1 si y sólo si $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Esto, por supuesto, es equivale a que la derivada sea siempre positiva o siempre negativa en el caso de que $f$ es diferenciable. (Obsérvese que este método sólo se aplica a la función verde de abajo).

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¿Y si la ecuación en cuestión es la raíz cuadrada de x? Obviamente es 1:1 pero siempre me sale que el valor absoluto de x es igual al valor absoluto de y. ¿Qué he hecho mal?

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@louiemcconnell El dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de los reales no negativos. Tenlo en cuenta cuando resuelvas $|x|=|y|$ (en realidad se resuelve $x=|y|$ , $x\ge 0$ ).

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La segunda función dada por el OP era $f(x) = \frac{x-3}{x^3}$ no $f(x) = \frac{x-3}{3}$

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Dan Walker Puntos 3466

Una función uno a uno es una función inyectiva . Una función $f:A\rightarrow B$ es una inyección si $x=y$ siempre que $f(x)=f(y)$ .

Ambas funciones $f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$ y $f(x)=\dfrac{x-3}{3}$ son inyectivas.

Vamos a probarlo para el primero

$$ \begin{eqnarray*} f(x) &=&f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}=\frac{y-3}{y+2} \\ &\Rightarrow &\left( y+2\right) \left( x-3\right) =\left( y-3\right) \left( x+2\right) \qquad(\text{for }x\neq-2,y\neq -2)\\ &\Rightarrow &xy-3y+2x-6=xy+2y-3x-6 \\ &\Rightarrow &-3y+2x=2y-3x\Leftrightarrow 2x+3x=2y+3y \\ &\Rightarrow &5x=5y\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*}$$

Así que concluimos que $f(x) =f(y)\Rightarrow x=y$ como se indica en la definición.

En cuanto a la segunda, tenemos $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{3} \Rightarrow &x-3=y-3\Rightarrow x=y. \end{eqnarray*} $$

Un ejemplo de función no inyectiva es $f(x)=x^{2}$ porque $$ \begin{eqnarray*} f(x) =f(y)\Leftrightarrow x^{2}=y^{2} \Rightarrow x=y\quad \text{or}\quad x=-y. \end{eqnarray*} $$

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Excelente respuesta. ¡Suban los puntos!

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@spryno724: ¡Gracias!

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Ya que su respuesta ha sido tan exhaustiva, ¡le doy +1 a su comentario!

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Matthew Scouten Puntos 2518

Para su segunda función modificada $f(x) = \frac{x-3}{x^3}$ se puede observar que $$f(x) - f(y) = \frac{(x-y)((3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2)}{x^3 y^3}$$ Como polinomio cuadrático en $x$ el factor $ (3-y)x^2 +(3y-y^2) x + 3 y^2$ tiene un discriminante $y^2 (9+y)(y-3)$ . Así que cuando cualquiera de los dos $y > 3$ o $y < -9$ esto produce dos reales distintos $x$ tal que $f(x) = f(y)$ .

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Jamil Ahmed Puntos 126

Antes de exponer mi respuesta, me gustaría decir que yo mismo soy un estudiante, así que no sé realmente si este es un método legítimo para encontrar lo requerido o no. Sería una buena cosa, si alguien señala cualquier error, lo que sea.

$f(x)$ es la función dada.
$f'(x)$ es su primera derivada.
Al equiparar $f'(x)$ a 0, se puede encontrar si la curva de $f(x)$ es diferenciable en cualquier real x o no.
$CaseI: $ $Non-differentiable$ - $One-one$
$CaseII:$ $Differentiable$ - $Many-one$

First Second

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Nótese que la primera función no es diferenciable en $02$ así que tu argumento no funciona.

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Una función no tiene que ser diferenciable en ningún sitio para que sea 1 a 1. Consideremos la función dada por f(1)=2, f(2)=3. Está definida sólo en dos puntos, no es diferenciable ni continua, pero es uno a uno.

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@JonathanShock , entiendo lo que dices. gracias por señalar el error. quitaré la solución lo antes posible.

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mkaito Puntos 136

Por lo que recuerdo una función $f$ es 1-1 es biyectiva por lo tanto

$f$ es surjetivo $f$ es inyectiva

Por definición, dejemos que $f$ una función de conjunto $X$ a $Y$ . $f$ es suryente si para cada $y$ en $Y$ existe un elemento $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$ .

$f$ es inyectiva si se cumple lo siguiente $x=y$ si y sólo si $f(x) = f(y)$ .

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