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Ésta es algo que siempre hemos defendido con ahínco.

El M de Weierstrass-prueba dice que dada una secuencia de función $(u_{n}(x))$ donde $x \in I$, si existe una serie convergente $\sum a_{n}$ tal que $|u_{n}(x)|\leq a_{n}$ todos los $n$$x\in I$, $\sum u_{n}(x)$ converge uniformemente en $I$.

¿Qué acerca de lo opuesto?

Si $\sum u_{n}(x)$ converge uniformemente en $I$, entonces existe una serie convergente $\sum g_{n}$ tal que $|u_{n}(x)|\leq g_{n}$ todos los $n$$x \in I$.

Puesto que el teorema no está en la forma de "si y sólo si', estoy tratando de pensar en un ejemplo para contrarrestar lo anterior:

Mi intento fue el de definir una función de la secuencia como esta:

example

Luego de tomar $u_{1}(x)=f_{1}(x),\ u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$. Se puede demostrar que $f_{n}(x)$ converge uniformemente en $[1, \infty)$, por lo $u_{n}(x)$ lo hace así.

Pero $|u_{n}(1)|=|f_{n}(1)|$ que es la constante de la secuencia: $1, 1, 1, ...$. Si asumimos por la contradicción que existe una secuencia $1\leq g_{n}$ que $\sum g_{n}$ converge entonces por la prueba de comparación $\sum 1$ converge cual obviamente no es cierto.

En primer lugar, me gustaría saber si lo anterior es cierto. Me tomó un buen rato para llegar a algo y ni siquiera estoy seguro de que es cierto.

Además, Es muy difícil para mí visualizar estas funciones complicadas (como la de arriba) donde $x$ $n$ jugar un papel. Hay una manera más fácil de lidiar con estas preguntas?

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Shaun Austin Puntos 2512

Lo primero que yo pensaría es considerar una serie de constante, que es aquella que no depende de ninguna variable. Esto ciertamente convergen uniformemente.

Así que el siguiente paso es pensar en su segunda condición, para que esto lo falla funcionaría si la serie no converge absolutamente.

Por lo tanto, esto conduce al ejemplo más simple que puedo pensar:

$$\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$$

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Michael Steele Puntos 345

$u_n = f_n - f_{n-1}$ $u_n(1) = 0$ para n>1. Sin embargo, si $a_n = \sup_{x\in I} |u_n(x)|$, usted tiene $a_n \geq u_n(n) = 1/n$ es todavía una secuencia divergente.

Su idea de "extender" las funciones se $u_n$ están añadiendo cosas a lo largo del eje x es bueno : Nunca añadir demasiado a una determinada x, de modo que la suma converge, pero que todavía son capaces de añadir una cantidad suficiente de "grandes" cosas en cada uno de los n así que $\Sigma a_n$ no convergen.

Usted puede utilizar esta idea para hacer un más claro ejemplo contrario :

Pick $B(x)$, una protuberancia de la función en $\mathbb{R}$ con soporte en [0,1], por ejemplo, a trozos función afín con $B(0)=B(1) = 0$$B(1/2) = 1$.

A continuación, defina $u_n(x) = B(x-n)/n$.

$\Sigma_{n\geq 1} u_n$ converge uniformemente, porque en cada x, $\Sigma_{k\geq n} u_k(x) \leq 1/n$. Sin embargo, $\Sigma_{n\geq 1} \sup_x |u_n(x)| = \Sigma_{n\geq 1} 1/n$ desviará

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tooshel Puntos 475

Casi un centenar de años atrás, G. H. Hardy mostró que no son de alimentación de la serie sobre $\mathbb{C}$ que convergen uniformemente en el cerrado de la unidad de disco, pero no absolutamente, en el límite, que es lo mismo que decir que la hipótesis de la Weierstrass M-test no pulsado (Un teorema relativo a Taylor en la serie, un Cuarto de galón. J. Pure Appl. De matemáticas. 44 (1913), 147-160). He publicado algunas referencias, incluidos los enlaces a los ejemplos aquí.

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