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¿Esta secuencia dar siempre un número entero?

Se sabe que el $k$-Somos secuencias de siempre dar enteros para $2\le k\le 7$.

Por ejemplo, el $6$-Somos de la secuencia se define como el siguiente :

$$a_{n+6}=\frac{a_{n+5}\cdot a_{n+1}+a_{n+4}\cdot a_{n+2}+{a_{n+3}}^2}{a_n}\ \ (n\ge0)$$

donde $a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1$.

Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta : Si una secuencia $\{b_n\}$ es difined como $$b_{n+6}=\frac{b_{n+5}\cdot b_{n+1}+b_{n+4}\cdot b_{n+2}+{b_{n+3}}^2}{b_n}\ \ (n\ge0)$$$$b_0=b_1=b_2=b_3=1, b_4=b_5=2,$$ a continuación, se $b_n$ un entero para cualquier $n$?

Podemos ver $$b_6=5,b_7=11,b_8=25,b_9=97,b_{10}=220,b_{11}=1396,b_{12}=6053,b_{13}=30467$$ $$b_{14}=249431,b_{15}=1381913,b_{16}=19850884,b_{17}=160799404$$ $$b_{18}=1942868797,b_{19}=36133524445, \cdots.$$

Motivación : he estado interesado en ver lo que sucede cuando cambiamos el primer par de términos. Parece cierto, pero yo no puede encontrar ningún contraejemplo ni demostrar que la secuencia siempre da un número entero. Hasta donde yo sé, parece que esta pregunta no puede ser resuelto en la forma en la que se demuestra que el $6$-Somos secuencia siempre da un número entero.

Actualización : me crossposted a MO.

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mathlove Puntos 57124

Esta no es una solución. Esta es una respuesta a Guillermo del comentario de arriba, que dijo

"Ya has intentado ir a través de la prueba del teorema original, para ver lo que podría cambiar si reemplazar 1 por 2 en las condiciones iniciales?"

Con el fin de hacer más fácil para mostrar la prueba de la $6$-Somos la secuencia, me voy a mostrar que el $4$-Somos secuencia siempre da un número entero.

El $4$-Somos secuencia $\{c_n\}$ se define como $$\begin{align}c_{n+4}=\frac{c_{n+3}\cdot c_{n+1}+{c_{n+2}}^2}{c_{n}}\ \ (n\ge0)\qquad(1)\end{align}$$ $$c_0=c_1=c_2=c_3=1.$$

Tenga en cuenta que es suficiente para demostrar el siguiente teorema :

Teorema : Vamos a $c_0=w,c_1=x,c_2=y,c_3=z$ ser variables, y deje $\frac{p_n}{q_n}$ ser la expresión racional de $c_n$ con representación irreducible por $(1)$. Entonces, el denominador de $q_n$ siempre es un monomio de expresión acerca de $w,x,y,z$ cuyo coeficiente es $1$.

Prueba : El $n\le 7$ de los casos son evidentes. El punto es que el $n=8$ de los casos. Deje $A$$p_4=xz+y^2$. Tomando nota de que $q_5=wx,q_6=w^2xy,q_7=w^3x^2yz$, obtenemos $$p_5=Ay+z^2w, p_6=A^2x+Ayzw+z^3w^2,$$$$ p_7=a^3(x^2+yw)+A^2z^2a^2+Ay^2z^2a^2+yz^4w^3.$$

Por lo tanto, sabemos que $p_4$ es coprime a cada uno de $p_5,p_6,p_7$ (como un polinomio). Desde el término constante del numerador de $c_8$ $y^2z^6w^4+xz^7w^4=z^6w^4A,$ sabemos que el numerador de $c_8$, como un todo, puede ser dividido por $A=p_4$. Por inducción, el tratamiento de la $c_9$ $c_8$ que comienza a partir de $x,y,z,a=\frac{A}{w}$, por el mismo argumento anterior, sabemos que el denominador es un monomio de expresión sólo con $w,x,y,z$ y así sucesivamente. Ahora la prueba se ha completado.

Ahora, les voy a mostrar la prueba de la $6$-Somos secuencia brevemente. Se sabe que esta prueba se ha completado mediante el uso de Macsyma. (por Dean Hickerson)

La forma de esta prueba es el mismo que el anterior.

Ver $a_n$ como la función racional acerca de $$a_0=u, a_1=v, a_2=w, a_3=x, a_4=y, a_5=z,$$

y muestran que el denominador es siempre un monomio expresión acerca de $u,v,w,x,y,z$ cuyo coeficiente es $1$ con representación irreducible. El punto es mostrar cada numerador puede ser representado como un polinomio de $B=vz+wy+x^2$. La dificultad radica en que muestra el término constante del numerador de $a_{12}$, que es un polinomio con $194$ términos, puede ser representado por $B$.

(En mi opinión, de esta manera es algo así como "caluculations nos dice que esto es cierto". Hasta donde yo sé, el misterio de que "¿por qué estos pueden ser divididos?" todavía sigue sin resolverse.)

De todos modos, lo que me gustaría decir es que el teorema anterior (la forma de pensar), que es todo lo que sé, no es suficiente para resolver mi pregunta.

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