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Demostrando que $ 2 $ es la única solución real de $ 3^x+4^x=5^x $

Me gustaría probar que la ecuación de $ 3^x+4^x=5^x $ tiene una única solución real ($x=2$)

He tratado de estudiar la función $ f(x)=5^x-4^x-3^x $ (para poder usar el teorema del valor intermedio) pero no soy capaz de encontrar el signo de $ f'(x)= \ln(5)\times5^x-\ln(4)\times4^x-\ln(3)\times3^x $ y no veo ningún otro método para resolver este ejercicio...

29voto

Jorrit Reedijk Puntos 129

Si insertamos la conocida solución podemos escribir $$ 5^{2+x} = 4^{2+x} + 3^{2+x} $$ preguntando, si había otra solución existe además de a $x=0 $ . Entonces podemos reescribir, poner el $5^x$ a la rhs:
$$ 5^2 = 4^2\cdot 0.8^x + 3^2\cdot 0.6^x $$ Entonces, si los exponentes $x$ sobre el lado derecho es cero, tenemos la conocida solución. Pero si $x$ aumenta por encima de cero, entonces los valores de ambos sumandos disminuir de forma simultánea, con lo que la igualdad no puede sostener.
El análogo se produce por la disminución de $x$: ambos sumandos aumento por encima de sus plazas de forma simultánea, por lo que no hay otra solución posible. QED.

4voto

Beni Bogosel Puntos 15173

Un método directo es dividir directamente por $5^x$ y $1=(3/5)^x+(4/5)^x$. Desde aquí es claro que el lado derecho está disminuyendo terminantemente, y hay una solución única. Casi todas las ecuaciones exponenciales se pueden tratar así, transformándolos a

  • una función cada vez más igual a una función decreciente

  • un aumento/disminución de la función igual a una constante.

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