¿Cuál es la probabilidad de que un punto elegido al azar desde el interior de un triángulo equilátero esté más cerca del centro que de cualquiera de los bordes?

Question

Mi amigo me dio este acertijo:

¿Cuál es la probabilidad de que un punto elegido al azar desde el interior de un triángulo equilátero esté más cerca del centro que de cualquiera de sus bordes?

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Intenté dibujar la imagen y dibujé un triángulo equilátero más pequeño (concéntrico) con la mitad de la longitud de los lados. Dado que el área es proporcional al cuadrado de la longitud de los lados, esto significaría que el triángulo más pequeño tenía $1/4$ del área del más grande. Mi amigo me dice que esto está mal. Dice que puedo usar cálculo pero no entiendo por qué la geometría necesitaría cálculo. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Es correcto pensar en las probabilidades como áreas, pero el conjunto de puntos más cercanos al centro no es un triángulo. En realidad, es una forma extraña con tres bordes curvos y las curvas son parábolas.

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El conjunto de puntos equidistantes de una recta $D$ y un punto fijo $F$ es una parábola. El punto $F$ se llama el foco de la parábola, y la recta $D$ se llama la directriz. Puedes leer más al respecto aquí.

En tu problema, si pensamos en el centro del triángulo $T$ como el foco, entonces podemos extender cada uno de los tres bordes para dar tres líneas que corresponden a las directrices de tres parábolas.

Cualquier punto dentro del área encerrada por las tres parábolas estará más cerca del centro de $T$ que de cualquiera de los bordes de $T$. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es el área encerrada por las tres parábolas, dividida por el área del triángulo.

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Llamemos $F$ al centro de $T$. Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $G$ y $H$ los puntos como se muestran en este diagrama:

La probabilidad que buscas es la misma que la probabilidad de que un punto elegido al azar de $\triangle CFD$ esté más cerca de $F$ que del borde $CD$. La parábola verde es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de $F$ que del borde $CD$.

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el punto $C$ es el origen $(0,0)$ y que el triángulo tiene longitud lateral $1$. Sea $f(x)$ la ecuación que describe la parábola en verde.

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Por similitud, vemos que $$\overline{CG}=\overline{GH}=\overline{HD}=1/3$$

Un triángulo equilátero con longitud lateral $1$ tiene un área de $\sqrt{3}/4$, lo que significa que $\triangle CFD$ tiene un área de $\sqrt{3}/12$. La suma de las áreas de $\triangle CAG$ y $\triangle DBH$ debe ser cuatro novenos de eso, o $\sqrt{3}/27$.

$$P\left(\text{el punto está más cerca del centro}\right) = \displaystyle\frac{\frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{27} - \displaystyle\int_{1/3}^{2/3} f(x) \,\mathrm{d}x}{\sqrt{3}/12}$$

Conocemos tres puntos por los que pasa la parábola $f(x)$. Esto nos permite crear un sistema de ecuaciones con tres variables (los coeficientes de $f(x)$) y tres ecuaciones. Esto nos da

$$f(x) = \sqrt{3}x^2 - \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$$

La integral de esta función desde $1/3$ hasta $2/3 es $$\int_{1/3}^{2/3} \left(\sqrt{3}x^2 - \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \,\mathrm{d}x = \frac{5}{54\sqrt{3}}$$

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Esto da nuestra respuesta final de $$P\left(\text{el punto está más cerca del centro}\right) = \boxed{\frac{5}{27}}$$

Answer 2

En respuesta a la solicitud de Benjamin Dickman de una solución sin cálculo, haciendo referencia al bonito diagrama de dtldarek en la respuesta de Zubin Mukerjee (con todas las áreas relativas a la del triángulo $FCD$):

Los puntos $A$ y $B$ están a un tercio a lo largo de los bisectores desde $F$, por lo que el triángulo $FAB$ tiene un área de $\frac19$. El vértice $V$ de la parábola está a medio camino entre $F$ y el lado $CD$, por lo que el triángulo $VAB$ tiene una anchura de $\frac13$ de $FCD$ y una altura de $\frac16$ de $FCD$ y por tanto un área de $\frac1{18}$. Por la cuadratura de la parábola de Arquímedes (mucho antes del advenimiento del cálculo), el área entre $AB$ y la parábola es $\frac43$ del área de $VAB$. Así que el área total en $FCD$ más cerca de $F$ que de $CD$ es

$$ \frac19+\frac43\cdot\frac1{18}=\frac5{27}\;. $$

P.D.: Al igual que la solución de Dominic108, esto se puede generalizar fácilmente a un $n$-ágono regular. Sea $\phi=\frac\pi n$. Entonces, la condición $FB=BH$, expresada en términos de la altura $h$ del triángulo $FAB$ con respecto a la de $FCD$, es

$$ \frac h{\cos\phi}=1-h\;,\\ h=\frac{\cos\phi}{1+\cos\phi}\;. $$

Esta es también la anchura de $FAB$ con respecto a la de $FCD$. La altura del arco de la parábola entre $A$ y $B$ es $\frac12-h$. Por lo tanto, la proporción del área del triángulo $FCD$ que está más cerca de $F$ que de $CD$ es

$$ h^2+\frac43h\left(\frac12-h\right)=\frac23h-\frac13h^2=\frac{2\cos\phi(1+\cos\phi)-\cos^2\phi}{3(1+\cos\phi)^2}=\frac13-\frac1{12\cos^4\frac\phi2}\;. $$

Esto no parece tomar valores racionales excepto para $n=3$ y para $n\to\infty$, donde el límite es $\frac13-\frac1{12}=\frac14$, el valor para el círculo.

Answer 3

El problema se puede resolver sin cálculo usando la Cuadratura de la Parábola de Arquímedes. Para probar esto, Arquímedes utilizó técnicas que están estrechamente relacionadas con el cálculo moderno.

Según la Cuadratura de la Parábola de Arquímedes, el área entre la parábola y el borde EF es $4\over3$ veces el área del triángulo EFG.

Supongamos que EK tiene una longitud de x, entonces debido a la similitud DI tiene una longitud de ${3\over2}x$ y DH tiene una longitud de ${1\over2}x$. Debido a que el punto G está en la parábola, tenemos que la longitud de DG es la mitad de la longitud de DI, por lo tanto la longitud de DG es ${3\over4}x$. Ahora la longitud de HG es ${3\over4}x-{1\over2}x={1\over4}x$. Entonces la longitud de DH es el doble de la longitud de HG

De esto se deduce que el área del triángulo EFG es la mitad del área del triángulo EFD. El área entre EF y la parábola es ${4\over3}\cdot{1\over2}={2\over3}$ veces el área del triángulo EFD.

Como el área del triángulo EFD es igual a ${1\over27}$ del área del triángulo ABC, ahora encontramos que el área de los puntos más cercanos al centro que a los bordes es igual a $3\cdot1{2\over3}\cdot{1\over27}={5\over27}$ del área del triángulo ABC. Por lo tanto, P(punto está más cerca del centro)=${5\over27}$.

Answer 4

Simplemente estoy pasando por aquí. Tal vez la idea sea tener algo elegante, pero esto es directo: una integral en coordenadas polares con la ayuda de Mathematica. Reutilizo la imagen de la solución de Zubin. Sea J el punto medio de CD. Por simetría, podemos restringir el análisis a CFJ. Sin pérdida de generalidad, dejemos que la longitud de FJ sea $1$. El área total de CFJ es $\sqrt{3}/2$. Necesitamos el área sobre la curva en CFJ. Elija un punto arbitrario L en la curva dentro de CFJ. Deje que $\theta$ sea el ángulo entre FJ y FL. Algo de trigonometría nos da que la longitud de FL es $x = (1+ \cos\theta)^{-1}$. (Ayuda trazar la línea recta que extiende FL y se encuentra con CJ en un punto K y notar que la longitud de FK es $1/\cos \theta$.) Por lo tanto, el área sobre la curva es la integral de $(1+\cos \theta)^{-2}/2$ de $0$ a $\pi/3$. Usando mathematica, la primitiva es $((2 + \cos\theta)\sin\theta)/(6(1 + \cos\theta)^2)$. Así, el área sobre la curva es $((2 + \cos(\pi/3))\sin(\pi/3))/(6(1 + \cos(\pi/3))^2) = 5 \sqrt 3/ 54$. Entonces, la probabilidad de estar sobre la curva es $(5 \sqrt 3/ 54)/(\sqrt 3/2) = 5/27.

Esta solución se generaliza a cualquier polígono regular. Integramos de $0$ a $\pi/n$ en lugar de de $0$ a $\pi/3$ y el área total de CFJ se convierte en $\tan(\pi/n)/2$ en lugar de $\sqrt 3/2$, todo lo demás permanece igual.