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Pregunta Acerca De Dedekind Cortes

Rudin se da la definición de un Dedekind Corte:

Un conjunto de los números racionales se dice que es un corte, si

(I) $\alpha$ contiene al menos uno racional, pero no todos racional;

(II) si $p\in\alpha$ $q<p$ (p racional), a continuación,$q\in\alpha$;

(III) $\alpha$ no contiene más grande racional.

Estoy confundido en cuanto a cómo un conjunto de racionales no puede contener más grande racional, sin embargo, no contienen todos los racionales.

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muerte Puntos 1474

Esto es muy posible. Considere la posibilidad de $\{r \in \mathbb Q \mid r < 0\}$. Supongamos que este conjunto contiene algunas más grande racional $p$. Pero $p$ es negativo, por lo $\frac p2$ también es negativo y superior al de $p$ (es decir, "menos negativa").

Esto puede ser fácilmente adaptado a un argumento que para todos los $q \in \mathbb Q$ el conjunto $L_q = \{r \in \mathbb Q \mid r < q\}$ es un Dedekind corte. Pero no todos ellos como el estándar "$\sqrt2$" ejemplo se muestra.

4voto

Duronman Puntos 349

Lo siento por la respuesta, no puedo comentar, pero como sugerencia: que es la más racional del conjunto de $\alpha = \{p \in \mathbb{Q}: p^2 < 2\}$? Si el conjunto de los reales (sé que esto es un poco de trampa) fue algo como $[-\infty, \sqrt{2}]$, a continuación, en los racionales no contendrá elemento más grande.

4voto

snicker Puntos 123

$$ \left\{\frac{9}{10}, \frac{99}{100}, \frac{999}{1000}, \frac{9999}{10000},\ldots \right\}$$

3voto

DanV Puntos 281

Considerar todos los racionales que son estrictamente menor que $0$. Este conjunto no tiene elemento maximal, pero está muy lejos de ser el conjunto de los números racionales.

1voto

Ivan Andrus Puntos 596

Hay suficientes ejemplos muestran que, un conjunto que satisface todas las condiciones, no las voy a repetir. Sólo algunas adiciones a las propiedades de ese conjunto:

  • Por supuesto que es infinito. Porque como $ \forall p \in \alpha, \, q < p \,\land q\in Q=>\, q \in \alpha $ , y como una propiedad de los números racionales, $ \forall q \in Q, \exists r $ tal que $ r<q \land r \in Q$, entonces el conjunto debe contener cada número racional $q$ tal que $q<r$ si contiene un número $p$, que es: $$p\in \alpha \land q\in Q<p => q \in Q$$

  • El significado de no tener mayor racional es que, el conjunto tiene un valor máximo, pero no la contienen; que debe ser un conjunto abierto.

  • Por eso $ \alpha = \{p\,| p<a, p \in Q, a \in R\} $ es un gran ejemplo para este tipo de conjunto. También recuerde que si usted elige $a$ como un número irracional, entonces el conjunto $\{b \,| -b \in Q - \alpha \}$ también será un Dedekind Corte, pero si usted elige $a$ como un número racional, entonces, como un conjunto tendría un mayor racional.

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