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¿Por qué son pruebas matemáticas que se basan en las computadoras polémica?

Hay muchos teoremas de las matemáticas que han demostrado que con la ayuda de los ordenadores, tomar el famoso teorema de los cuatro colores , por ejemplo. Tales pruebas son a menudo objeto de controversia entre algunos matemáticos. ¿Por qué es así?

En mi opinión, el cambio manual de la prueba asistida por ordenador de pruebas es un salto de gigante para las matemáticas. Otros campos de la ciencia dependen fuertemente. Experimentos de física son simuladas en los equipos. Las reacciones químicas son simuladas en supercomputadoras. Incluso la evolución puede ser simulado en un avanzado lo suficiente como equipo. Todo esto nos puede ayudar a entender estos fenómenos mejor.

Pero ¿por qué los matemáticos tan reticentes?

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Mike Powell Puntos 2913

¿Qué es la matemática? Una respuesta es que las matemáticas es una colección de definiciones, teoremas y pruebas de ellos. Pero el más realista answr es que las matemáticas es lo que los matemáticos hacen. (Y en parte, eso es una actividad social.) El progreso en matemáticas consiste en avanzar el entendimiento humano de las matemáticas.

¿Qué es una prueba? A menudo se pretende que la razón de la prueba es por lo que podemos estar seguros de que el resultado es cierto. Pero en realidad lo que los matemáticos se busca es la comprensión.

Animo a todos a leer el artículo Sobre la Prueba y el Progreso en Matemáticas por la Medallista Fields William Thurston. Él dice (en la página 2):

El rápido avance de las computadoras ha ayudado a dramatizar este punto, debido a que los equipos y las personas son muy diferentes. Por ejemplo, cuando Appel y Haken completado una prueba de la 4-mapa de color teorema usando una enorme automático de cálculo, esto ha provocado mucha controversia. Yo interpreto la controversia, ya que poco tienen que ver con la duda de la gente en cuanto a la veracidad del teorema o la corrección de la prueba. Más bien, refleja un deseo continuo para el entendimiento humano de una prueba, en adición a los conocimientos que el teorema es verdadero.

En un mayor nivel cotidiano, es común que la gente se empieza a lidiar con los equipos para hacer a gran escala de los cálculos de cosas que pudieron haber hecho en una escala más pequeña con la mano. Se puede imprimir una tabla de la primera 10,000 números primos, sólo para encontrar que su impresión no es algo que realmente quería, después de todo. Descubren por esta clase de experiencia que lo que realmente quiero es que normalmente no una colección de "respuestas"-lo que quieren es comprensión.

Algunas personas pueden decir que no hay duda acerca de una prueba cuando se ha demostrado por el equipo, pero creo humanos de las pruebas tienen más margen para el error. El verdadero problema es que el (largo) equipo de pruebas (en contraposición a, por algo tan simple como la comprobación de un valor numérico por calculadora) son difíciles de mantener en su cabeza.

Comparar estas citas de Gian-Carlo Rota Indiscreta Pensamientos, en donde describe los matemáticos " la búsqueda de la comprensión:

"al final todos los problemas matemáticos que se resultó trivial. La búsqueda de la máxima trivialidad es característico de la matemática de la empresa." (p.93)

"Cada teorema matemático es, finalmente, resultó trivial. El matemático del ideal de la verdad es la banalidad, y la comunidad de los matemáticos no dejará su beaver-como trabajo en un recién descubierto resultado hasta que se haya demostrado a satisfacción de todos, que todas las dificultades en las primeras pruebas eran falsas, y sólo una analítica, la trivialidad se encuentra al final de la carretera". (p. 118, en la Fenomenología de La Matemática de la Verdad)

Hay pruebas definitivas? Es un artículo de fe entre los matemáticos que, después de un nuevo teorema es descubierto, otras más simples pruebas de que se ha dado hasta el definitivo uno se encuentra. Una inspección superficial de la historia de las matemáticas, parece confirmar el matemático de la fe. La primera prueba de un gran número de teoremas es innecesariamente complicado. "Nadie echa la culpa a un matemático si la primera prueba de un nuevo teorema es torpe", dijo Paul Erdős. Toma un tiempo largo, de un par de décadas a siglos, antes de que los hechos que se ocultan en la primera prueba se entiende, como los matemáticos de manera informal de decir. Este gradual sacar de la importancia de un nuevo descubrimiento adquiere la apariencia de una sucesión de pruebas, cada una más sencilla que la anterior. Nuevo y sencillo versiones de un teorema se dejan de aparecer cuando los hechos son los que finalmente entendió. (p.146, en la Fenomenología de La demostración Matemática).

En mi opinión, no hay nada de malo, o dudosa, una prueba que se basa en equipo. Sin embargo, dicha prueba está en la etapa intermedia se describe arriba, que aún no ha sido dictada trivial suficiente para ser celebrada en un matemático a la cabeza, y por lo tanto el teorema está demostrado es ser considerado todavía un trabajo en progreso.

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Joseph Geipel Puntos 166

He aquí un gran artículo sobre el por qué.

Hay varias razones. Uno de los más grandes es que la manera en cómo se resuelve el problema con frecuencia es más interesante y útil que el resultado real. Si es que cómo es que "se hizo una búsqueda exhaustiva de todas las posibilidades," usted realmente no consiguen mucho más que el resultado. También existe el riesgo de que confiar en los equipos que elimina la necesidad de improvisar con nuevas ideas.

Otra razón es que los errores y las fallas en la informática a veces se consideran demasiado de un riesgo a la certeza matemática.

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lhf Puntos 83572

Ver también este artículo:

Feo Matemáticas: ¿Por Qué Los Matemáticos Aversión Asistida Por Ordenador De Pruebas?
La Matemática Intelligencer, diciembre 2012, Volumen 34, número 4, pp 21-28

Aquí está un resumen encuentra aquí:

El autor describe una analogía entre las narrativas y pruebas matemáticas que trata de explicar de una manera sencilla, para que la fealdad de la asistida por ordenador de pruebas. Él menciona que la fealdad no es esencialmente asociados a la metodológica o epistemológica problemas con la evidencia. Él dice que nonbeautiful prueba sólo puede ser una aburrida hacia donde los matemáticos revelan la indiferencia.

Por otro resumen, ver este ZMATH revisión.

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Jurney Puntos 335

Creo que el gran problema aquí no es si la asistencia de equipo es usado, pero si el resultado de la prueba es humanamente comprensible: es bastante insatisfactorio para tener una prueba de que en realidad no puede envolver su cabeza alrededor, y, ciertamente, puede dejar a uno preguntándose si no hay errores en el software.

No creo que nadie realmente mentes el uso de una prueba de ayudante de donde se puede generar razonablemente comprensible pruebas, y es utilizado por pereza y/o con el fin de evitar errores estúpidos.

(Y, por supuesto, una prueba que no puede ser comprendido por los seres humanos realmente no debería ser de confianza a menos que el código para generar está disponible para que la salida puede ser comprobada mediante diversas pruebas de comprobación de herramientas, como el Coq núcleo).

Tenga en cuenta que el 4-color teorema ha sido demostrado el uso de Coq, no sólo con la inverosímil-grandes "de la mano-checked" a la salida del ordenador.

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