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¿Cómo puedo encontrar la pendiente de la bisectriz de un ángulo, dada las ecuaciones de las dos líneas que forman el ángulo?

La ecuación de la primera línea es $y = \frac{1}{2}x - 2$, y la ecuación para la segunda línea es $y = 2x + 1$. Ellos se cruzan en $(-2, -3)$.

Alguien me dijo solo puedo promedio de las pendientes de las dos líneas para encontrar la pendiente de la bisectriz, pero no estoy seguro si es correcto.

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Aretino Puntos 5384

La sugerencia que es completamente equivocada. En este caso particular, sólo puede notar que líneas cuyas laderas son recíprocos, son simétricos con respecto a las líneas con pendiente $+1$ y $-1$.

3voto

Narasimham Puntos 7596

Para estar en el camino correcto, vamos a $Ax + By + C =0, ax + by + c =0 $ ser las ecuaciones de las rectas.El angular de la bisectriz es la recta que los locus de modo que la longitud de perpendiculares quita de en las líneas dadas son iguales. La polar en forma de línea recta es útil aquí.

$$ \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}} = \pm \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$

El $+$ signo es tomado cuando los brazos contienen el origen interno de la bisectriz, $-$ signo externo de la bisectriz perpendicular a ella. Ahora, usted puede encontrar su pendiente.

2voto

Nilabro Saha Puntos 6

Si tiene dos líneas

$$ L_1: a_1x + b_1y + c_2 = 0 $

y

$$ L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0, $$

entonces la ecuación de los bisectores está dada por

$$ \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}. $$

donde el $+$ y $-$ marcan la diferencia entre los dos bisectores. Simplemente simplificar cada ecuación y leer de la cuesta.

2voto

fleablood Puntos 5913

La línea 1 es $y = \frac 12 x - 2$. La línea 2 es $y = 2x +1$. Se cruzan en $(-2-3)$.

Si en la línea 1 de ir en $x$ $2$ las unidades que van a subir en $y$ $1$ de la unidad. Esto colocará en $(0, -2)$. La distancia recorrida es $\sqrt {1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

Si en la línea 2 vas en $x$ $1$ las unidades que van a subir en $y$ $2$ de la unidad. Esto colocará en $(-1, -1)$. La distancia recorrida es $\sqrt {2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

La bisectriz de un ángulo pasará por el punto medio de la $(0,-2)$ y $(-1,-1)$$*$. Así que la bisectriz de un ángulo va a ir a través de $(-\frac 12, -1\frac 12)$. Así que la bisectriz de un ángulo pasa a través del punto de $(-2,-3)$$(-\frac 12, -1\frac 12)$, por lo que la pendiente es $\frac{-1\frac 12 - (-3)}{-1\frac 12 -(-2)} = \frac {1\frac 12}{1\frac 12} = 1$.

$*$ porque... $A = (-2,-3); B= (0,-2); C=(-1,-1);$ y $AB$ = $AC= \sqrt{5}$ por lo $\triangle BAC$ es isoceles, y la bisectriz de un ángulo de $\angle BAC$ pasa por el punto medio de la $BC$.

==== los detalles en general ====

Que amigo no es del todo correcta. Usted puede el promedio de los ángulos , pero pendientes no son los ángulos y no hay una conversión lineal entre ellos. (Hay un trigonométricas de conversión entre ellos. Pero no lineal de conversión.)

Ten paciencia conmigo.

Supongamos que se cruzan las dos líneas en $(u,v)$ y la línea de $1$ pendiente $m$ y la línea de $2$ pendiente $n$.

Mover a lo largo de la línea de $1$ $(u,v)$ a una distancia de $1$ de la unidad. Usted tendrá mover $\delta $ $x$ dirección de e $m*\delta $ $y$ dirección, de forma que la distancia total es de $\sqrt{\delta^2 + m^2\delta^2} = 1$.

Por lo $\delta\sqrt{1 + m^2} = 1$$\delta = \frac 1{\sqrt{1 + m^2}}$.

Así que el punto en la línea $1$ que es una unidad de distancia de la $(u, v)$ es el punto de $(x_1, y_1) = (u + \frac 1{\sqrt{1 + m^2}}, v + \frac m{\sqrt{1 + m^2}})$.

Asimismo, el punto en la línea $2$ que es una unidad de distancia de $(u,v)$ será el punto de $(x_2, y_2) = (u + \frac 1{\sqrt{1 + n^2}}, v + \frac n{\sqrt{1 + n^2}})$

La bisectriz de un ángulo contendrá el punto medio de la $(x_1, x_2)$$(x_2, y_2)$.

El punto medio es $(x_m, y_m) = (u + \frac{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}2, w + \frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}2)$.

Así.... la pendiente de la bisectriz de un ángulo será:

$\frac {y_m - v}{x_m - u}= \frac{\frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}2}{\frac{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}2}=$

$\frac{[\frac m{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac n{\sqrt{1 + n^2}}]}{[\frac 1{\sqrt{1 + m^2}}]+[\frac 1{\sqrt{1 + n^2}}]}=\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}$

$[\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}=\frac{\frac 12\sqrt{1 + 2^2}+2\sqrt{1 + \frac 12^2}}{\sqrt{1 + \frac 12^2}+\sqrt{1 + 2^2}}=\frac{\sqrt{5}/2+ \sqrt{5}}{\sqrt{5}+ \sqrt{5}/2}=1]$

Que... debo confesar que es una fórmula que nunca aprendí y nunca esperar a nadie para memorizar. Yo esperaría que si uno tiene que encontrar la pendiente de una bisectriz de un ángulo sería de calcular para las líneas específicas.

Usted puede ser capaz de simplificar la ecuación más.

=====

La ecuación es una especie de "promedio"; no es un estándar de la media aritmética.

Usted puede calcular el promedio de los ángulos de las líneas. Pero pendientes no son los ángulos y no lineal de la conversión.

Si usted sabe trigonemetry:

Pendiente = $\frac{rise}{run} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ por lo que el ángulo de una línea es $\theta = \arctan m$.

Por lo que el ángulo de la bisectriz de un ángulo es $\psi = \frac {\theta + \omega}2 = \frac {\arctan(m) + \arctan(n)}2$

Y la pendiente de la bisectriz de un ángulo es $k = \tan(\psi) = \tan(\frac {\arctan(m) + \arctan(n)}2)=\frac{m\sqrt{1 + n^2}+n\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}+\sqrt{1 + n^2}}$

1voto

G Cab Puntos 51

Tomar los vectores unitarios paralelos a las líneas: la suma es paralela a uno de los dividiendo en dos la línea, su diferencia será paralela a la otra.
Para determinar cual es la que divide en dos partes iguales agudo ángulo obtuso, acaba de tomar el producto escalar de dos vectores:

  • si es positivo, entonces su suma será paralela a la aguda bisectriz y su diferencia con la obtuso
  • viceversa, si el producto escalar es negativo.

nota: este método es válido también en 3D. En 2D se puede aplicar el mismo método a la normal (en lugar de en paralelo) de vectores unitarios.

en el ejemplo (usando vectores paralelos)

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La reescritura de la línea de ecuaciones en el proporcionalformulario $$ \left\{ \begin{gathered} y = \frac{1} {2}x - 2\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {2} = \frac{{y - \left( { - 2} \right)}} {1} \hfill \\ y = 2x + 1\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {{1/2}} = \frac{{y - 1}} {1}\quad \Rightarrow \quad \frac{{x - 0}} {1} = \frac{{y - 1}} {2} \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$

a continuación, el paralelo unitario de los vectores de $$ \mathbf{u} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {2,1} \right)\quad \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {1,2} \right)\quad 0 < \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{4} {5} $$ y el ángulo entre ellos es aguda. Su suma y la diferencia es $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {3,3} \right)\quad \mathbf{u} - \mathbf{v} = \frac{1} {{\sqrt 5 }}\left( {1, - 1} \right) $$ y las ecuaciones de la bisección de líneas será: $$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{x - x_{\,c} }} {3} = \frac{{y - y_{\,c} }} {3}\quad \Rightarrow \quad x + 2 = y + 3\quad \Rightarrow \quad y = x - 1\;\;acute \hfill \\ \frac{{x - x_{\,c} }} {1} = \frac{{y - y_{\,c} }} {{ - 1}}\quad \Rightarrow \quad x + 2 = - y - 3\quad \quad \Rightarrow \quad y = - x - 5\;\;obtuse \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$

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