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¿Cuál es la diferencia entre un punto y un vector

Entiendo que un vector que tiene la dirección y magnitud, mientras que un punto no.

Sin embargo, el curso tenga en cuenta que estoy usando afirma que un punto es igual a un vector.

También, se puede hacer el producto vectorial y producto escalar en el uso de dos puntos en lugar de dos vectores? No lo creo, pero mi compañero de cuarto insiste en que sí y estoy un poco confundido ahora.

118voto

Ray Toal Puntos 821

He aquí una respuesta sin el uso de símbolos.

La diferencia es, precisamente, que entre la ubicación y el desplazamiento.

  • Los puntos son lugares en el espacio.
  • Los vectores de desplazamientos en el espacio.

Una analogía con el momento funciona bien.

  • Veces, (también llamado instantáneos o datetimes) son lugares en el tiempo.
  • Las duraciones son los desplazamientos en el tiempo.

Así, en el tiempo,

  • 4:00 de la tarde, al mediodía, medianoche, 12:20, 23:11, etc. son tiempos de
  • +3 horas, -2.5 horas, +17 segundos, etc., son las duraciones

Observe cómo las duraciones pueden ser positivos o negativos; esto les da una "dirección" además de su puro valor escalar. Ahora la mejor manera de distinguir mentalmente tiempos y duraciones de las operaciones que apoyan

  • Dado un tiempo, usted puede agregar una duración para obtener un nuevo tiempo (3:00 + 2 horas = 5:00)
  • Se pueden restar dos veces para obtener una duración (7:00 - 1:00 = 6 horas)
  • Usted puede agregar dos duraciones (3 hrs., 20 min + 6 horas, 50 min = 10 hrs, 10 min)

Pero no se pueden agregar dos veces (3:15 de la mañana + mediodía = ??)

Vamos a llevar la analogía a hablar ahora sobre el espacio:

  • $(3,5)$, $(-2.25,7)$, $(0,-1)$, etc. son puntos de
  • $\langle 4,-5 \rangle$ es un vector, lo que significa 4 unidades de este 5 sur, suponiendo que el norte está arriba (lo siento residentes en el hemisferio sur)

Ahora tenemos exactamente el mismo, análogo de las operaciones en el espacio, como hicimos con el tiempo:

  • Usted puede agregar un punto y un vector: a Partir de $(4,5)$ y va $\langle -1,3 \rangle$ llevará hasta el punto de dólares(3,8)$
  • Se pueden restar dos puntos para obtener el desplazamiento entre ellos: $(10,10) - (3,1) = \langle 7,9 \rangle$, que es el desplazamiento que tendría a partir de la primera ubicación para llegar a la segunda
  • Usted puede agregar dos desplazamientos para obtener un compuesto de desplazamiento: $\langle 1,3 \rangle + \langle -5,8 \rangle = \langle -4,11 \rangle$. Es decir, ir a 1 paso del norte y 3 oriente, LUEGO de pasar 5 sur y 8 oriente, es la misma cosa y apenas van 4 sur y 11 oriente.

Pero no se puede sumar dos puntos.

En términos más concretos: Moscú + $\langle\text{200 km al norte, 7000 km al oeste}\rangle$ es otro lugar (punto) en algún lugar en la tierra. Pero Moscú + de Los Ángeles no tiene sentido.

Para resumir, un lugar donde (o cuando), y un desplazamiento de cómo llegar de un lugar a otro. Ellos tienen tanto magnitud (qué tan lejos) y una dirección (que en el tiempo, un espacio multi-dimensional, es simplemente positiva o negativa). En el espacio, los lugares son puntos y los desplazamientos son vectores. En el tiempo, los lugares son (puntos) tiempo, un.k.una. los instantes y los desplazamientos están duraciones.

EDIT 1: En respuesta a algunos de los comentarios, debo señalar que de las 4:00 de la tarde no es en absoluto un desplazamiento, pero "+4 horas" y "-7 horas". Asegúrese de que usted puede llegar a las 4:00 pm (un instante) sumando el desplazamiento "+16 horas" para el instante de la medianoche. También se puede llegar a las 4:00 de la tarde por la adición de la diplacement "-3 horas" a las 7:00 de La tarde el origen de la confusión entre las ubicaciones y desplazamientos es que la gente mentalmente trabajo en sistemas de coordenadas relativas a algún origen (si $(0,0)$ o "medianoche" o similar) y ambos conceptos son representados como coordenadas. Supongo que ese fue el punto de la cuestión.

EDIT 2: he añadido alguna prueba para dejar claro que las duraciones de las que realmente tiene sentido; lo que yo había escrito tanto -2.5 horas y +3 horas antes, pero algunos pueden tener perdida que la negativa encapsulado en una dirección, y sintió que la duración es "sólo un escalar" cuando, en realidad, la adición de una $+$ o $-$ realmente le dan sentido.

35voto

JoshL Puntos 290

Los puntos y los vectores no son la misma cosa. Dados dos puntos en el espacio 3D, podemos hacer un vector desde el primer punto hasta el segundo. Y, dado un vector y un punto, podemos empezar en el punto y "seguir" el vector para obtener otro punto.

Hay un bonito hecho, sin embargo: los puntos en el espacio 3D (o $\mathbb{R}^n$, más en general) son de una muy buena correspondencia con los vectores que empiece en el punto $(0,0,0)$. Esencialmente, la idea es que podemos representar el vector con su punto final, y no se pierde información. Esto a veces se llama poner el vector en "posición normal".

Para un supuesto como el cálculo vectorial, es importante mantener una buena distinción entre puntos y vectores. Los puntos corresponden a los vectores que empieza en el origen, pero puede que necesitemos vectores que se inician en otros puntos.

Por ejemplo, dados tres puntos de $A$, $B$ y $C$ en el espacio 3D, se quiere encontrar la ecuación del plano que se extiende por ellos, Si sólo sabíamos el vector normal $\vec$ n del plano, podemos escribir la ecuación directamente como $\vec n \cdot (x,y,z) = \vec n \cdot$. Así que tenemos que encontrar que normal $\vec$ n. Para ello, hemos de calcular el producto cruz de los vectores $\vec {AB}$ y $\vec{AC}$. Si calculamos el producto cruzado de $A$ y $C$ en lugar de (pretendiendo que ellos son los vectores de posición estándar), no podemos obtener el vector normal.

Por ejemplo, si $a = (1,0,0)$, $B = (0,1,0)$ y $C = (0,0,1)$, el vector normal de la correspondiente plano no sería paralelo a cualquier eje de coordenadas. Pero si tomamos dos de $A$, $B$ y $C$ y calcular una cruz de producto, vamos a obtener un vector paralelo a uno de los ejes de coordenadas.

20voto

Studer Puntos 1050

En espíritu son cosas diferentes. Pero la convención habitual es pensar de los vectores en el plano o en el espacio tridimensional como el inicio en el origen. En ese caso, un vector se identifica precisamente por su punto final, dándole una identificación entre puntos y vectores.

Una forma de ver que son cosas diferentes (incluso si se ha identificado en muchas circunstancias), es que se puede sumar vectores, mientras que la suma de puntos no tiene sentido. Mismo con el punto y la cruz de los productos.

9voto

mkoryak Puntos 18135

¿Exactamente qué es un vector? Tienes razón en que solemos considerar un vector como algo que tiene una dirección y una magnitud, pero hay más precisa definición abstracta y es que un vector, por ejemplo, en $\mathbb{R}^n$ es sólo un elemento de ese conjunto. Por lo tanto es el mismo que el de un punto cuando se considera como un elemento de un conjunto.

Ahora, si usted quiere hablar acerca de los productos cruzados y magnitudes, entonces se convierte en una pregunta acerca de la lingüística. La forma de, por ejemplo, definir la magnitud como la función $$ \lvert\cdot\rvert: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $$ dado para $a = (a_1, a_2) \in \mathbb{R}^2$ por $$ \lvert un \rvert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}. $$ Así que si usted insiste en hablar acerca de la magnitud de un punto, entonces eres "libre" para hacerlo (es decir, libres para definir este). Pero ten en cuenta que también causa confusión al hacer esto. Y con las matemáticas, queremos comunicar claramente y de manera ...

De la misma manera, se podría definir la suma o el producto cruzado de los puntos.


Tal vez sería mejor decir esto: Es el espacio vectorial de la misma como un conjunto? Sí, un espacio vectorial es un conjunto. Pero también es más que un conjunto. No podemos agregar elementos de un conjunto, pero podemos añadir elementos de un espacio vectorial porque con un vector de espacio de obtener la definición de una adición. Lo que en este sentido, un punto y un vector son muy diferentes.


Agregado: Si usted quiere encontrar la ecuación de un plano que contiene a los tres puntos $a$, $b$ y $c$, entonces usted no restar los puntos. Entonces, ¿cómo usted lo. Así, si las coordenadas para el punto $$ $(a_1, a_2, a_3)$, es decir, si $a = (a_1, a_2, a_3)$, (y también para $b$ y $c$), a continuación, primero se definen los vectores $$ \vec{ab} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3) $$ y $$ \vec{ac} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2, c_3 - a_3). $$ A continuación, un vector normal a un plano es el producto cruz de los vectores: $\vec{ab}\times \vec{ac}$.

5voto

Olivier Puntos 954

Vectores y puntos, son dos cosas diferentes y no deben confundirse. Ambos comparten ciertas similitudes, lo que hace que la transformación de uno a otro muy fácil, pero se utilizan de diferentes maneras, así como describir los diferentes objetos matemáticos.

Un punto es una ubicación en un sistema de coordenadas, que es una ubicación definida relativamente a un origen. Si se va a mover el origen sin mover el punto, entonces las coordenadas del punto de cambio.

Un vector es una más general objeto. No importa donde se dibuja un vector $\vec{v}$ en un avión, es todavía el mismo. Si se va a mover el origen, los componentes del vector no iba a cambiar. También se puede pensar en un vector como una transformación. Se puede aplicar en cualquier lugar y tienen el mismo efecto: desplazamiento de un punto de una cierta distancia en una dirección precisa.

La confusión entre el vector y el punto viene del hecho de que un punto $P$ también puede ser representado como un vector de $\vec{OP}$, que es el vector de partida desde el origen $O$ ir al punto $P$. Sólo entonces el vector y el punto de algo equivalente. Un vector se define como $\vec{AB}$, con $A$ y $B$ puntos, no debe ser confundido con algún punto de $X$ tal que $\vec{AB} = \vec{OX}$ .

Se puede entender que aunque a veces es útil para representar un punto como un vector, que normalmente no debe representar un vector como un punto.

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