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Resolución de Triángulos (la búsqueda de desaparecidos lados/ángulos dados en 3 lados/ángulos)

¿Qué es un procedimiento general para "solucionar" un triángulo, es decir, para encontrar el lado desconocido de las longitudes y las medidas de los ángulos dados tres longitudes de los lados y/o las medidas de los ángulos?

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En primer lugar, algunos notación: vamos a $A$, $B$, y $C$ ser las medidas de los tres ángulos y dejar $a$, $b$, y $c$ ser las longitudes de los lados opuestos esos ángulos, respectivamente. Ahora, vamos a ver caso por caso los posibles conjuntos de información que podría tener.

SSS

Vamos a empezar con el caso en el que conocemos los tres lados, $a$, $b$, y $c$. Podemos usar la Ley de los Cosenos, en la forma en que se resuelve por el coseno de un ángulo, para encontrar las medidas de dos de los ángulos, a continuación, utilizar el hecho de que la suma de las medidas de los ángulos es 180°, para encontrar el tercero:

$$A=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$

$$B=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$

$$C=180°-A-B$$

SAS

Si conocemos dos lados y la medida del ángulo que incluyen, dicen $a$, $b$, y $C$, podemos usar la Ley de los Cosenos para encontrar el lado desconocido de longitud, a continuación, recoger con la SSS proceso de encontrar los ángulos desconocidos:

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$$

$$A=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$

$$B=180°-A-C$$

ASA o AAS

Si conocemos las medidas de dos ángulos, podemos encontrar que la medida del tercer ángulo usando $A+B+C=180°$, así que vamos a suponer que todos conocemos tres medidas de los ángulos $A$, $B$, y $C$, y por el lado de longitud $a$. Podemos usar la Ley de los Senos para encontrar cada uno de los desconocidos longitudes de los lados:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$$

$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$$

SSA

Si conocemos a dos longitudes de los lados y la medida de un ángulo que no está incluido entre los conocidos dos lados, dicen $a$, $b$, y $A$, podemos empezar a usar la Ley de los Senos para encontrar $B$, pero esto puede dar dos soluciones:

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$$

Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}>1$, entonces no hay solución y la información dada no determina un triángulo (es imposible que la información proporcionada para describir un triángulo).

Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=1$, $B$ es un ángulo recto y la información dada determina un único triángulo.

Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}<1$, entonces hay dos soluciones para $B$:

$$B_1=\arcsin\left(\frac{b\sin A}{a}\right)\text{ or }B_2=180°-B_1$$

En cada caso, podemos utilizar $A+B+C=180°$ para determinar el $C$:

$$C_1=180°-A-B_1\text{ or }C_2=180°-A-B_2$$

En este punto, $B_1$ $C_1$ definitivamente va a describir un triángulo, pero si $C_2\le0$ $B_2$ $C_2$ no describen un triángulo. Si sólo tenemos el $B_1$ caso de que una o ambas de las $B_1$ $B_2$ de los casos, podemos usar la Ley de los Cosenos para encontrar el lado desconocido:

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$$

AAA

Sabiendo que los tres ángulos sólo determina el triángulo hacia arriba a la similitud, es decir, si no sabemos, al menos, uno de longitud, no vamos a ser capaces de encontrar cualquier longitud.


Referencia

La ley de los Cosenos

Wikipedia MathWorld $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Ley de los Senos

Wikipedia MathWorld $$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$

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