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¿Hay una fórmula general para los triángulos de Pitágoras que comparten un área?

La fórmula básica para la generación de un triángulo de Pitágoras, que se define por $A^2 + B^2 = C^2$, es

$A = M^2 - N^2; B = 2MN ; C = M^2 + N^2$

Y Wolfram Alpha me dio una solución (acreditado a un Enrique Zeleny) para los tres triángulos que comparten un área común (calculado como un $\frac{AB}{2}$)

$M_1 = r^2 + rs + s^2; N_1 = r^2 - s^2$

$M_2 = r^2 + rs + s^2; N_2 = 2rs + s^2$

$M_3 = r^2 + 2rs; N_3 = r^2 + rs + s^2$

Sin embargo, ha llegado a mi atención que este es un caso específico en el que muchos triples de Pitágoras a los triángulos no caer bajo.

Gerry Myerson desde este mismo sitio, por ejemplo, publicó un cuatrillizos de Pitágoras a los triángulos (esencialmente, 4 superposición de trillizos), la mayor parte no tomar esta forma:

$(A;B;C) = (111;6160;6161), (M;N) = (56;55)$

$(A;B;C) = (231,2960,2969), (M;N) = (40;37)$

$(A;B;C) = (1320,518,1418), (M;N) = (37;7)$

$(A;B;C) = (280,2442,2458), (M;N) = (37,33)$

Hay una fórmula más general dentro de la cual todas estas soluciones específicas?

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Ataulfo Puntos 3108

COMENTARIO.-Básicamente el problema es encontrar muchos enteros positivos soluciones de la ecuación $$xy(x^2-y^2)=k$$ where $k$ es natural entero (el área de un triángulo rectángulo).

El dado parametrización (de Enrique Zeleny) da una infinidad de conjuntos de tres triángulos que comparten el mismo área. En el caso de Gerry Myerson el ejemplo correspondiente a la ecuación $$xy(x^2-y^2)=341880$$ the value of $k$ es algo grande y no se le da una similar parametrización para conjuntos de cuatro triángulos. Trato aquí de explicar este último hecho.

La curva de $xy(x^2-y^2)=k$ no tiene puntos singulares por lo que han género igual a $\dfrac{(4-1)(4-2)}{2}=3$. Estamos frente a una cuártica plano de la curva de género $3$ así por el célebre teorema de Faltings probar la Conjetura de Mordell esta curva tiene sólo un número finito de puntos racionales (nada en este contexto entero de puntos que es un problema más difícil). Quiero decir que el que plantea el problema es bastante difícil. Sólo para conjuntos de cuatro triángulos, sin duda, ese $k=341880$ debe ser una especie de mínimo posible, por tanto, para grupos de cinco,seis,etc triángulos el problema se vuelve aún más difícil.Y extremadamente difícil o imposible una parametrización como para tres triángulos.

La dificultad en la determinación de número entero de puntos en una curva de género $1$ puede ser indirectamente visualizado por la lectura del artículo "Entero puntos en las Curvas de Género 1", escrito por Joseph H. Silverman: Revista de la Sociedad Matemática de Londres, Volumen s2-28, número 1, agosto de 1983, p.1-7. Mucho más luego de género mayor que $1$.

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