20 votos

Integral de la $\int_0^\infty \frac{\sin x}{\cosh ax+\cos x}\frac{x}{x^2-\pi^2}dx=\tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)-\frac{1}{a}$

Por favor me ayudan a demostrar la siguiente identidad: $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{\cosh ax+\cos x}\frac{x}{x^2-\pi^2}dx=\tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)-\frac{1}{a}\quad a>0$$ Esta integral es de Gradshteyn y Ryzhik las tablas.

21voto

Omran Kouba Puntos19191

Lema. Para$a>0$$x\in\Bbb{R}$, $$ \sum_{n=1}^\infty2(-1)^{n-1}\sin(nx)e^{-anx}=\frac{\sin x}{\cosh(ax)+\cos x}\etiqueta {1} $$

Prueba.De hecho, $$\eqalign{ \sum_{n=1}^\infty2(-1)^{n-1}\sin(nx)e^{-anx}&= -2\Im\left(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n e^{(i-a)nx}\right)\cr Y=2\Im\left(\frac{e^{(i-a)x}}{1+e^{(i-a)x}}\right)\cr &=\frac{\sin x}{\cosh(ax)+\cos x}.\qquad\square }$$

Ahora, vamos a $$I(a)=\int_0^\infty\frac{\sin x}{\cosh(ax)+\cos x}\cdot\frac{x}{x^2-\pi^2}\,dx.$$ Entonces $$\eqalign{ I(a)&=\sum_{n=1}^\infty2(-1)^{n-1}\int_0^\infty\frac{x}{x^2-\pi^2}\sin(nx)e^{-anx}dx\cr &=\sum_{n=1}^\infty2(-1)^{n-1}\int_0^\infty\frac{t}{t^2-n^2\pi^2}\sin t e^{-a}dt\cr &=\int_0^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{2t(-1)^{n-1}}{t^2-n^2\pi^2}\right)\sen t e^{-a}dt\cr &\buildrel{(*)}\over{=}\int_0^\infty\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{\sen t}\right)\sen t e^{-a}dt\cr &=\int_0^\infty\frac{\sen t}{t} e^{-a}dt-\int_0^\infty e^{-a}dt\cr &=\arctan\frac{1}{a}-\frac{1}{a} } $$ como se desee.

Para obtener más información sobre la fracción parcial de la descomposición $(*)$ de la $\csc$ función, se puede consultar Alfors Libro Capítulo 5. p 185--188. $\qquad\square$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: