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Calcular el área de un cuadrilátero cuando la distancia de los vértices de un punto arbitrario que se conoce

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ circunscrito alrededor de un círculo de diámetro $1$. Dentro de $ABCD$ hay un punto de $M$ tal que $MA^2 + MB^2 +MC^2 + MD^2 =2$. Hallar el área del cuadrilátero.

Mi intento de solución: Traté de resolverlo utilizando geometría de coordenadas. Supuse $M$ a estar en el centro del círculo y tomar $ABCD$ como un cuadrado, los lados vienen a ser $1$. Por lo tanto, el área viene a ser $1$ unidad sq.

Sin embargo, yo estaba buscando una solución adecuada para la pregunta.

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Michael Rozenberg Puntos 677

Por AM-GM

$$\sum_{cyc}MA^2=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\left(MA^2+MB^2\right)\geq\sum_{cyc}MA\cdot MB\geq$$ $$\geq2\sum_{cyc}S_{\Delta AMB}=2S_{ABCD}=r\sum_{cyc}AB,$$ donde $r$ es de un radio de nuestro círculo.

En otro lado, por AM-GM de nuevo $$\left(\sum_{cyc}AB\right)^2\geq4(AB+CD)(AD+BC)=4\sum_{cyc}AB\cdot AD=$$ $$=2\sum_{cyc}(AB\cdot AD+BC\cdot CD)\geq2\cdot4\cdot2S_{ABCD}=16S_{ABCD},$$ lo que da $$\sum_{cyc}AB\geq4\sqrt{S_{ABCD}}=4\sqrt{\frac{1}{2}r\sum_{cyc}AB}$$ o $$\sum_{cyc}AB\geq8r.$$ Por lo tanto, $$\sum_{cyc}MA^2\geq r\sum_{cyc}AB\geq8r^2=2.$$ La igualdad se produce por $$\measuredangle DAB=\measuredangle ABC=\measuredangle BCD=\measuredangle CDA=90^{\circ}$$ y $$\measuredangle AMB=\measuredangle BMC=\measuredangle CMD=\measuredangle DMA=90^{\circ},$$ el que dice que $ABCD$ es un cuadrado.

Id est, $$S_{ABCD}=1\cdot1=1.$$ Hecho!

-1voto

Martigan Puntos 3322

Usted no puede hacer eso, ya que no existe una solución única.

Tomar los degenerados cuadrilátero $ABCD$ donde$A=B$$C=D$,$M=C$, se ha cumplido con la ecuación, pero la zona es $0$.

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