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Probar la raíz cuadrada de un cuadrado es lo mismo que el valor absoluto

Digamos que tengo una función definida como $f(x) = \sqrt {x^2}$ . El conocimiento común de las raíces cuadradas te dice que simplifiques para $f(x) = x$ (llamaremos a eso $g(x)$ ) que puede ser el mismo problema, pero no es la misma ecuación. Por ejemplo, digamos que pongo $-1$ en ellos:

$ \begin {align} f(x) &= \sqrt {x^2} \\ f(-1) &= \sqrt {(-1)^2} \\ f(-1) &= \sqrt {1} \\ f(-1) &= 1 \end {align}$

$ \begin {align} g(x) &= x \\ g(-1) &= -1 \end {align}$

Por lo tanto, concluimos que $f(x)$ y $g(x)$ no producen los mismos resultados aunque sean matemáticamente iguales. Esto también se muestra cuando intentamos graficar las funciones:

$y = \sqrt {x^2}$ :

Wolfram|Alpha plot

$y = x$ :

Wolfram|Alpha plot

$y = \mid x \mid $ :

Wolfram|Alpha plot

A partir de esto, podemos ver que dado $f(x) = \sqrt {x^2}$ cuando se simplifica no es lo mismo que $f(x) = x$ . Entonces, ¿hay alguna manera de probar que $y = \sqrt {x^2}$ no es lo mismo que $y = x$ para los valores negativos, pero de hecho es lo mismo que $y = \mid x \mid $ ?

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Aaron Newton Puntos 656

Es la definición de raíz cuadrada de un número. La raíz cuadrada se define en el sentido de que $s(x^2) = \sqrt{ x^2 } = |x|$ para todos los reales $x$ . Por tanto, el dominio son los números reales y el codominio son los números reales no negativos. La razón por la que se define de esta manera es para asegurarse de que $s$ es una función. Supongamos por un momento que $s(x^2) = x$ entonces: $$\sqrt{(-5)^2} = -5, \qquad \sqrt{5^2} = 5$$ Pero sabemos que $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \sqrt{5^2}$ . Así, vemos que $s(25) = -5, 5$ . Y así $s$ no es una función. Para mantenerla como función, tenemos que "sacrificar" y decir que $s(x^2) \neq x$ . Más bien, $s(x^2) = |x|$ . Esto será coherente con la definición de una función.

Al ser una definición, no se puede demostrar. El problema es que muchos piensan que $\sqrt {x^2} = x$ porque estudiamos los números positivos antes de estudiar los números negativos, lo cual es comprensible, porque yo solía cometer ese error todo el tiempo.

9voto

Lockie Puntos 636

Dado un número real no negativo $\alpha$ el número $\sqrt\alpha$ se define como el único número real no negativo $\beta$ tal que $\beta^2=\alpha$ . Desde $\sqrt{\alpha}\geq 0$ para todos $\alpha\geq 0$ entonces para cualquier real $\gamma$ se deduce que $$\sqrt{\gamma^2}=\begin{cases}\gamma & \gamma\geq 0\\-\gamma & \gamma<0,\end{cases}$$ es decir, $$\sqrt{\gamma^2}=|\gamma|.$$

2voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Cuando $x < 0$ , $|x| = -x > 0$ . $-x \ne x$ (a menos que $x=0$ ) y $(-x)^2 = x^2$ . Hay dos "raíces cuadradas" de cualquier número positivo $y$ es decir, los números cuyo cuadrado es $y$ y el positivo se llama $\sqrt{y}$ . Así que $\sqrt{x^2} = -x = |x|$ cuando $x < 0$ y $\sqrt{x^2} = x = |x|$ cuando $x \ge 0$ .

-2voto

Y =raíz x es una función cuya gráfica está sólo en el primer cuadrante y también es uno -uno por lo tanto es bastante claro que sólo existe un valor para una x en su dominio.hay implica raíz bajo x es modoulus x Ilustración nº 2 :- Considere la función y = a^x su gráfico todo el mundo sabe y es una función uno por lo tanto la raíz bajo 4 con ser sólo y sólo 2..... no +-2

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