¿Cuál es la integral de 0?

Question

Estoy tratando de convencer a mi amigo de que la integral de $0$ es $C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Parece que no puede entender este concepto. ¿Pueden ayudarme aquí? Él sigue diciendo que es $0$.

Answer 1

Tomar la derivada de cualquier función constante es 0, es decir, $\frac {d}{dx} c = 0$. Entonces la integral indefinida $\int0 \,dx$ produce la clase de funciones constantes, es decir, $f(x) = c$ para algún $c$.

Hay algo en lo que debes fijarte aquí, y es "¿qué pasa con el hecho $\alpha \int f dx = \int \alpha f dx$?" ¿No puedes decir:

$$\int 0\,dx = \int 0 \cdot 1 \,dx = 0 \int 1 \,dx = 0x = 0$$

Esto da dos respuestas conflictivas. La pregunta es mucho más complicada de lo que pensarías inicialmente. Pero cuando dices $\int f dx$ y no está claro o definido el intervalo sobre el cual estás integrando, lo que realmente quieres decir es "la clase de funciones que al derivarse con respecto a $x$ dan como resultado $f$". La regla mencionada solo se aplica para integrales definidas. Es decir:

$$\int_a^b\alpha f\,dx = \alpha \int_a^bf \,dx$$

Y si miras los libros de análisis real (acabo de ver el de Rudin) verás que es la forma en la que encontrarás el teorema.

También se debe tener en cuenta que la integral definida de $0$ sobre cualquier intervalo es $0$, ya que $\int 0 \,dx = c - c = 0.$

Answer 2

Estás en lo correcto, $\int 0 dx = 0 + C = C$

Tu amigo no está completamente equivocado porque $C$ podría ser igual a $0$. es decir, si
$f(x) = 0$ es una antiderivada. Pero en general no conocemos el valor de $C$ a menos que se nos dé alguna condición inicial.

Answer 3

Enlace

Aquí entran en juego dos tipos de integrales. Las integrales definidas son las que describen el área real bajo una curva. Las integrales indefinidas son las que describen la antiderivada.

Realmente no hay ningún paradoxo. al hablar de integrales indefinidas, la integral de $0$ es simplemente $0$ más la constante arbitraria habitual, es decir,

$\int 0 \, dx = 0 + C = C$

No hay contradicción aquí. Al evaluar el área bajo una curva $f(x)$, encontramos la antiderivada $F(x)$ y luego evaluamos desde $a$ hasta $b$:

$$\int^{b}_{a} f(X) \, dx = F(b) - F(a)$$

Entonces, para $f(x) = 0$, encontramos $F(x) = C$, y por lo tanto $F(b) - F(a) = C - C = 0$. Por lo tanto, el área total es cero, como esperábamos.

Answer 4

Las integrales indefinidas (antiderivadas) se conocen módulo una función constante. Con las integrales definidas, el caso es diferente: $$ \int_a^b0\,\mathrm{d}t=0 $$

Una forma de verificar que $C$ es la antiderivada de $0$ es simplemente $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}C=0 $$

Answer 5

¿Qué tal dibujar sumas superiores e inferiores! No llegarás muy lejos porque estarás casado con el eje horizontal y luego, por supuesto, todas las sumas son cero y dado que una integral definida siempre está atrapada entre cualquier suma superior y cualquier suma inferior. El valor está atrapado por 0. Es decir, 0 <= la integral <= 0. Esto, por supuesto, funciona solo para una integral definida. Si estás buscando una antiderivada, no debería ser muy difícil convencer a tu amigo de que solo las funciones constantes f(x) = C tienen una pendiente de cero.