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¿Qué es la integral de 0?

Intento convencer a mi amigo de que la integral de 0 es C, donde C es una constante arbitraria. Parece que no puede entender este concepto. ¿Pueden ayudarme con esto? Sigue diciendo que es 0.

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Sam DeHority Puntos 4252

Tomando la derivada de cualquier función constante es 0, es decir. $\frac {d}{dx} c = 0$ Así que la integral indefinida $\int0 \,dx$ produce la clase de funciones constantes, es decir $f(x) = c$ para algunos $c$ .

Hay algo que tienes que mirar aquí sin embargo, que es "¿qué pasa con el hecho de que $\alpha \int f dx = \int \alpha f dx $ ?" No puedes decir:

$$\int 0 dx = \int 0 \cdot 1 \,dx = 0 \int 1 \,dx = 0x = 0$$

Esto da dos respuestas contradictorias. La pregunta es mucho más complicada de lo que se pensaba. Pero cuando dices $\int f dx$ y el intervalo sobre el cual se está integrando no es obvio o definido, lo que realmente quieres decir es "la clase de funciones que cuando se derivan con respecto a $x$ producir $f$ ". La regla enunciada sólo se aplica a las integrales definidas. Es decir:

$$\int_a^b\alpha fdx = \alpha \int_a^bf dx$$

Y si miras los libros de texto sobre el análisis real (acabo de mirar a Rudin) esa es la forma en la que encontrarás el teorema.

Cabe señalar también que la integral definitiva de $0$ sobre cualquier intervalo es $0$ como $\int 0 dx = c - c = 0. $

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Rustyn Puntos 5774

Tiene razón, $\int 0 dx = 0 + C = C$

Tu amigo no es completamente mal porque $C$ podría igualar $0$ si
$f(x) = 0$ es un antiderivado. Pero en general no sabemos $C$ a menos que se nos dé alguna condición inicial.

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Anthony Shaw Puntos 858

Las integrales indefinidas (anti-derivadas) son conocidas como módulo una función constante. Con las integrales definidas, el caso es diferente: $$ \int_a ^b0\, \mathrm {d}t=0 $$

Una forma de verificar que $C$ es el antiderivado de $0$ es simplemente $$ \frac { \mathrm {d}}{ \mathrm {d}t}C=0 $$

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Yaroslav Puntos 141

http://mathforum.org/library/drmath/view/65593.html

Hay dos tipos de integrales en juego aquí. Integrales definidas son los que describen el área real bajo una curva. Indefinido Las integrales son las que describen el anti-derivado.

No hay ninguna paradoja, en realidad. Cuando se habla de integrales indefinidas, la integral de 0 es sólo 0 más la habitual constante arbitraria, es decir,

$\int 0 \, dx = 0 + C = C $

No hay ninguna contradicción aquí. Cuando se evalúa el área bajo una curva f(x), encontramos el antiderivado F(x) y luego evaluamos de a a b:

$\int^{b}_{a} f(X) \, dx = F(b) - F(a)$

Así que, para f(x) = 0, encontramos F(x) = C, y así F(b) - F(a) = C - C = 0. Por lo tanto, el área total es cero, como esperábamos.

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DaveUM Puntos 146

¿Qué tal si se dibujan sumas superiores e inferiores! No llegarás muy lejos porque estarás casado con el eje horizontal y luego, por supuesto, todas las sumas son cero y como una integral definida siempre está entre cualquier suma superior e inferior. El valor está atrapado por 0. Es decir, 0 <= la integral <= 0. Esto, por supuesto, funciona sólo para una integral definida. Si estás buscando un antiderivado, no debería ser muy difícil convencer a tu amigo de que sólo las funciones constantes f(x) = C tienen pendiente cero.

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