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Demostrar que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones

Acabo de empezar a trabajar para aprender Álgebra Lineal por mi cuenta a través del libro de Hoffman y Kunze y el primer conjunto de problemas ya tiene una pregunta que no puedo resolver:

Demostrar que si dos sistemas homogéneos de ecuaciones lineales en dos incógnitas tienen las mismas soluciones, entonces son equivalentes.

No consigo averiguar cómo demostrar esto sin recurrir a un trabajo de casos en el que se tienen en cuenta los casos en los que uno de los coeficientes es cero y cuando ambos lo son.

¿Existe una forma elegante de demostrar en general que cuando dos sistemas de ecuaciones lineales tienen las mismas soluciones, son equivalentes? Sin embargo, lo contrario es bastante obvio.

Definición de equivalencia del texto :

Digamos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si cada ecuación de cada sistema es una combinación lineal de las ecuaciones del otro sistema.

11voto

CodingBytes Puntos 102

Tenemos que demostrar lo siguiente: Dado cualquier conjunto de soluciones $L\subset{\mathbb R}^2$ entonces dos sistemas homogéneos cualesquiera $$\Sigma: \qquad a_i x+ b_i y=0 \qquad (1\leq i\leq n)$$ teniendo el conjunto de soluciones $L$ pueden transformarse entre sí mediante operaciones de fila.

El conjunto de soluciones $L$ puede ser uno de los siguientes:

(i) $\ \{0\}$ ,

ii) un subespacio unidimensional $<r>$ con $r=(p,q)\ne 0$ ,

(iii) todos los ${\mathbb R}^2$ .

Anuncio (i): Si $0$ es la única solución de $\Sigma$ entonces no todos los vectores de fila $c_i=(a_i,b_i)$ pueden ser múltiplos de un mismo vector $c\ne0$ . Así que hay dos ecuaciones $a_1 x+b_1 y=0$ , $a_2 x+ b_2 y=0$ en $\Sigma$ con vectores fila linealmente independientes $(a_i, b_i)$ y mediante operaciones de fila se pueden transformar en $\Sigma_0: \ x=0, y=0$ . Otras operaciones de fila eliminarán todas las ecuaciones restantes de $\Sigma$ . Concluimos que en este caso todos los sistemas $\Sigma$ equivalen a $\Sigma_0$ .

Ad (ii): El sistema $\Sigma$ tiene que contener al menos una ecuación con $c_i=(a_i,b_i)\ne 0$ . Afirmamos que todas las ecuaciones con $c_i\ne 0$ son individualmente equivalentes a $\Sigma_1: \ q x -p y=0$ . Así que en este caso cualquier $\Sigma$ equivale a $\Sigma_1$ . Para demostrar la afirmación podemos suponer $a_i\ne 0$ . Ahora $r\in L$ implica $a_i p+ b_i q=0$ y como $r\ne 0$ debemos tener $q\ne 0$ . Esto implica $b_i=-a_i p/q$ , por lo que al multiplicar la ecuación $a_i x+ b_i y=0$ por $q/a_i$ da $\Sigma_1$ .

Ad (iii): Este caso es trivial. Todas las filas de $\Sigma$ son $0$ .

9voto

Russ Puntos 230

Sean dos sistemas, si cada ecuación del segundo sistema es una Combinación lineal del primer sistema entonces cada solución del primer sistema es también la solución del segundo sistema y si cada ecuación del primer sistema es una Combinación lineal del segundo sistema, toda solución del segundo sistema es también la solución del primer sistema.

Ahora, consideremos los dos siguientes homogéneo en dos incógnitas ( $x_1, x_2$ ), las soluciones de ambos sistemas son las mismas. $A_{11}x_1+A_{12}x_2=0 ... A_{n1}x_1+A_{n2}x_2=0$ y $B_{11}x_1+B_{12}x_2=0 ... B_{n1}x_1+B_{n2}x_2=0$ .

Seleccionar escalares $C_1, C_2, ..., C_n$ . Multiplicar $k^{th}$ ecuación del primer sistema por $C_k$ y luego sumar por columnas (para que la variable sea común) para obtener lo siguiente $(C_1A_{11}+...+C_nA_{n1})x_1+(C_1A_{12}+...+C_nA_{n2})x_2=0$ .

Comparando esta ecuación con todas las ecuaciones del segundo sistema y utilizando también el hecho de que ambos sistemas tienen las mismas soluciones, obtenemos

$C_1A_{11}+...+C_nA_{n1}=B_{11}, B_{21},..., B_{n1}$ y $C_1A_{12}+...+C_nA_{n2}=B_{12}, B_{22},..., B_{n2}$ ,

lo que demuestra que el segundo sistema es un Combinación lineal el primer sistema. De manera similar podemos demostrar que el primer sistema es un Combinación lineal del segundo sistema y así concluir que ambos sistemas son Equivalente .

3voto

TVK Puntos 131

Si la equivalencia significa "que cada ecuación en un sistema es una combinación lineal de ecuaciones en el otro" entonces la prueba es casi trivial por el método de Eliminación de Gauss-Jordan que es una aplicación de Eliminación de Gauss para hacer un sistema de ecuaciones equivalente a una forma diagonal (primero triangular superior y luego diagonal), llegando a la solución realizando operaciones elementales de fila . Se puede trabajar hacia atrás y partir de la solución de su sistema escrito como una matriz diagonal y aplicar un conjunto diferente de operaciones elementales de fila para llegar a diferentes sistemas de ecuaciones que son equivalentes, ya que cada ecuación (fila de su matriz) de uno se puede remontar a ser escrito como una combinación lineal de la otra por la construcción.

0voto

G Cab Puntos 51

Consideremos el espacio de vectores en $\mathbb R^n$ .

Entonces se sabe que $m \le n$ vectores de la misma $\bf v_1, \cdots, \bf v_m$ abarcará un subespacio de como máximo $\mu \le m$ dimensiones.

También se sabe que su espacio nulo, es decir, el espacio abarcado por los vectores normales a ellos, es de dimensión $n-\mu$ .
Las soluciones $\bf x$ al sistema $$\bf v_1 \cdot \bf x=0, \; \bf v_2 \cdot \bf x =0, \; \cdots,\; \bf v_m\cdot \bf x =0$$ son, de hecho, todos los vectores que pertenecen al espacio nulo respectivo.

Si dos conjuntos de vectores $\bf v_1, \cdots, \bf v_m$ y $\bf w_1, \cdots, \bf w_m$ tienen el mismo conjunto de vectores nulos, es decir, el mismo espacio nulo, entonces el $\bf v$ y $\bf w$ abarcan el mismo subespacio, por lo que comparten la misma base, puede expresarse una como combinación lineal de la otra. En ese sentido son equivalentes.

En el otro sentido, si son equivalentes al abarcar el mismo subespacio, entonces tienen el mismo espacio nulo y por tanto, las mismas soluciones del sistema homogéneo.

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