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Intuitiva interpretación del Laplaciano

Como la pendiente es "la dirección de ascensional", y la divergencia es "la cantidad de cosas creado en un punto", hay una buena interpretación de la Laplaciano (un.k.una. la divergencia del gradiente)?

125voto

CodingBytes Puntos 102

Asumir la función $f$ es $C^2$ en una vecindad de ${\bf 0}\in{\mathbb R}^n$. El uso de la expansión de Taylor de $f$ en ${\bf 0}$ se puede demostrar el siguiente: $$\Delta f({\bf 0}) =\lim_{r\a 0+}\ {2n\más de r^2}{1\over \omega(S_r)} \int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})\ .\qquad (*)$$ Esta fórmula se dice que $\Delta f({\bf 0})$ es "esencialmente" (es decir, hasta el factor de escala ${2n \más de r^2}$) igual a la diferencia promedio de $f({\bf x})-f({\bf 0})$ más pequeñas esferas de alrededor de ${\bf 0}$.

El uso de esta interpretación que uno hace, por ejemplo, una comprensión intuitiva de la ecuación del calor $${\partial u\over\partial t}=a^2\ \Delta u\ ,$$ a saber: Si en promedio sobre pequeñas esferas alrededor de un punto de ${\bf p}$ está más caliente que en ${\bf p}$, entonces en el segundo siguiente la temperatura en ${\bf p}$ aumentará.

Dado el interés en la fórmula anterior $(*)$, aquí están algunos consejos para la prueba: Por Taylor teorema uno tiene $$f({\bf x})-f({\bf 0})= \sum_{i=1}^n f_{.i} x_i +{1\over2}\sum_{i,k} f_{.ik} x_i x_k + o(|{\bf x}|^2)\qquad({\bf x}\{\bf 0}) .$$ Aquí el $f_{.i}$ y el $f_{.ik}$ son las derivadas parciales de $f$ evaluado en ${\bf 0}$, donde las constantes. Ahora integramos esta más de $S_r$ con respecto a la superficie de la medida ${\rm d}\omega$ y obtener $$\int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})={1\over2}\sum_{i}f_{.ii}\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x}) +o\bigl(r^{2+(n-1)}\bigr) \qquad(r\to0+)\ ,$$ porque todos los otros términos son impares en al menos una variable. Las integrales de $\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x})$ son todos iguales; por lo tanto, tenemos $$\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x})={1\over n}\int\nolimits_{S_r}\sum_k x_k^2\ {\rm d}\omega({\bf x})={r^2\sobre n}\omega(S_r)\qquad(1\leq i\leq n)\ .$$ Poniendo todo junto obtenemos $$\int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})={r^2\más de 2n}\omega(S_r)\Delta f({\bf 0}) +o(r^{n+1})\qquad(r\a 0+)\ ,$$ y la solución para que $\Delta f({\bf 0})$ obtenemos la indicada fórmula.

Para una prueba usando Gauss teorema de ver aquí:

Bonita manera de pensar sobre el operador de Laplace... pero ¿cuál es la prueba?

50voto

Knox Puntos 1543

Se comporta como un promedio local del operador. Esto se puede ver fácilmente cuando se considera una diferencia finita de aproximación para el Laplaciano:

$$\nabla^2 f(x,y) \approx \frac{f(x+h,y) + f(x-h,y) + f(x,y+h) + f(x,y - h) - 4f(x,y)}{h^2}$$

Usted puede volver a escribir esto en notación de vector como:

$$\nabla^2 f(x,y) \approx \frac{1}{h^2} \sum_{\mathbf{h}} f(\mathbf{x+h}) - f(\mathbf{x})$$

donde la suma es sobre vectores en la $x$, $x$, $y$ y $y$ las direcciones, y $h=||\mathbf{h}||$. De orden superior aproximaciones para el Laplaciano implicará el promedio de las tasas de cambio en más direcciones.

Así que usted puede pensar en el Laplaciano se comporte como un promedio de la tasa de cambio'. Como se señaló en Glen Wheeler respuesta, el promedio de la tasa de cambio puede ser cero, incluso cuando no es significativo de curvatura en un punto, por ejemplo, como en la función $f(x,y)=x^2-y^2$.

En el procesamiento de imágenes, el Laplaciano discreto (donde $h$ es uno de los píxeles de la definición que dio de arriba) puede ser utilizado como un crudo borde de detección de filtro. Es cercano a cero en las regiones donde la imagen se varían suavemente, y tiene grandes valores en las regiones donde la imagen ha bruscas transiciones de baja y alta intensidad.

En física, el Laplaciano se interpreta como una difusión operador, como en la ecuación

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$

Esto nos dice que la tasa de cambio de $u$ en el tiempo está dada por el promedio de la tasa de cambio de $u$ en el espacio. Si interpretamos $u$ como la temperatura (y por tanto $\partial u/\parcial t$ es la tasa de cambio de la temperatura), entonces podemos ver que hay más intercambio de calor en regiones donde la temperatura es muy variable, y menos de intercambio de calor cuando la temperatura varía suavemente.

18voto

Ben Koehler Puntos 4707

El laplaciano es también la traza de la matriz hessiana (la matriz de segundo orden en derivadas parciales). Desde la traza de una matriz es invariante bajo cambios de base, a continuación, el laplaciano no cambia si hacer un cambio de base. Por ejemplo, si usted trabaja en $\mathbb{R}^2$, entonces $$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$ en coordenadas cartesianas y $$\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}$$ en coordenadas polares, pero en cada punto $(x,y)$ o $(r,\theta)$ este es el mismo valor.

[Hesse matriz contiene información acerca de la manera en que su función se dobla alrededor de un cierto punto. Ya que es simétrica (por el teorema de Schwarz) y el real, se puede diagonalize y para el laplaciano es también la suma de los autovalores de hesse, y estos autovalores son importantes para detectar qué tipo de flexión local.]

9voto

wueb Puntos 33

Desde un punto de vista probabilístico el Laplaciano es de gran importancia ya que surge de una la (infinitesimal) el generador del movimiento Browniano (incluso en los colectores).

$D$-dimensional movimiento Browniano (o proceso de Wiener) es un(n, casi con toda seguridad) continuo proceso estocástico fijo e independiente incrementos de $B_t - B_s \sim \mathcal N(0,(t-s))^{\otimes d}$ son normalmente distribuidos, es decir, tienen una densidad Gaussiana

$$p_{t-s}(x,\mathrm dy) = \frac 1{\sqrt{2\pi(t-s)}^d} \exp\left( -\frac12 \frac{|x-y|^2}{t-s} \right) \mathrm dy.$$

El (infinitesimal) generador de una fuertemente continua contracción semigroup $(P_t)_{t\geq 0}$ en en un espacio de Banach es el operador \begin{align} \mathbf Una u := \lim_{t\to 0} \frac{P_t u - u}{t}, \end{align} donde el dominio de $\mathcal D(\mathbf A)$ de $\mathbf$ es el conjunto de funciones $u$ donde el límite existe. Por la fórmula de Taylor esto puede ser, alternativamente escrito como \begin{align*} P_t u = u + t \mathbf Una u + o(t), \end{align*} de modo que el generador de $\mathbf$ da a la aproximación de primer orden de $P_t$ para los pequeños $t$. Uno puede mostrar que \begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} P_t u(x) = \mathbf Un P_t u(x) = P_t \mathbf Una u(x), \end{align} es decir, el generador es el tiempo derivado de la asignación de $t\mapsto P_t u(x)$. Leyendo esto como una ecuación diferencial parcial vemos que $u(t,x) := P_t f(x)$ es una solución de \begin{align} \partial_t u(t,x) = \mathbf Una u(t,x), \quad u(0,x) = f(x). \end{align}

Desde un punto de vista probabilístico uno define la transición semigroup $$P_t u(x) := \mathbb E^x u(B_t) = \frac 1{\sqrt{2\pi t}^d} \int_{\mathbb R^d} \exp\left( - \frac{|x-y|^2}{2} \right) \mathrm dy.$$ Mus $P_t u(x) = u * p_t(x)$ es una convolución de que el calor del núcleo, por lo que una solución de la ecuación del calor. En otras palabras \begin{align} \mathbb E^x u(X_t) \aprox u(x) + \mathbf Un P_t u(x). \end{align} Así que, esencialmente, el generador describe el movimiento del proceso en un intervalo de tiempo infinitesimal.

Uno puede mostrar que para cada Feller semigroup el límite existe en $(C_\infty, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ y por lo tanto, para cada proceso de Markov. El más importante probabilístico razón es que por cada adaptado Feller proceso $(X_t, \mathcal F_t)_{t\geq 0}$ en $\mathbb R^d$ el proceso de \begin{align} M_t^u := u(X_t) - u(x) - \int_0^t \mathbf Una u(X_r) \mathrm d r \quad ( u \in \mathcal D(\mathbf A), {t\geq 0} ) \end{align} es un $\mathcal F_t$-martingala. Desde martingales han constante expectativa de ello se sigue que \begin{align*} \mathbb E^x u(X_t) - u(x) &= \mathbb E^x \int_0^t \mathbf Una u(X_r) \mathrm d r\\ &= \int_0^t \mathbb E^x(\mathbf u)(X_r) \mathrm d r\\ \Longleftrightarrow P_t u(x) - u(x) &= \int_0^t P_r \mathbf Una u(x) \mathrm d r, \end{align*} de la que podemos lograr fácilmente Dynkin de la fórmula por Doob opcional de frenado teorema: Dejar que $\sigma$ ser $\mathcal F_t$ tiempo de parada con $\mathbb E^x \sigma < \infty$, a continuación, \begin{align} \mathbb E^x u(X\sigma) - u(x) = \mathbb E^x \int_0^\sigma \mathbf Una u(X_r) \mathrm d r \quad (u \in \mathcal D(\mathbf A)). \end{align}

Esta conexión nos permite resolver clásica de las ecuaciones diferenciales parciales, como el problema de Dirichlet, con martingala métodos en una elegante manera probabilística.

Por último, para el movimiento Browniano. Por simplicidad $d=1$. Entonces $\mathbb E^x(B_t - x) = 0$ y $\mathbb E^x(B_t -x)^2 = t$ y por la fórmula de Taylor \begin{align*} \mathbb E^x u(B_t) \approx \mathbb E^x\a la izquierda( u(x) + u'(x)(B_t-x) + \frac 12 u"(x)(B_t-x)^2 \right) = u(x) + 0 + \frac 12 t u"(x). \end{align*} Así que podemos asumir que se tiene $(\mathbf Un, \mathcal D(\mathbf A)) = \left( \frac 12 \Delta \mathcal C_\infty\right)$, donde $\mathcal C_\infty :=: \mathcal C_\infty(\mathbb R^d)$ denota la familia de todas las funciones continuas de $f : \mathbb R^d \to \mathbb R$ de fuga en el infinito. Por $d=1$ que es cierto. Para el movimiento Browniano de las dimensiones superiores, que todavía puede ser demostrado que $\mathbf u = \frac 12 \Delta u$ donde $u \in \mathcal D\left(\frac 12 \Delta \right)$. Sin embargo, sólo obtenemos $C_\infty \subsetneq \mathcal D\left( \frac 12 \Delta \right)$.

Moveover, vemos que \begin{align*} M_t^u := u(X_t) - u(x) - \int_0^t u"(B_r) \mathrm d r \quad ( u \in \mathcal D(\mathbf A), {t\geq 0} ) \end{align*} es una martingala.

Así, vemos que $u(t,x) := \mathbb E^x f(B_t)$ es la solución única de la ecuación del calor \begin{align*} \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2}\partial_x^2 u(t,x), \quad u(0,x)=f(x). \end{align*}

Vamos a $D$ ser abierto, acotado y conectado dominio, $\tau_{D^c} := \inf\{ t>0 : B_t \no\D\}$ el primer tiempo de salida de la $D$ e $f : \partial D \to \mathbb R$ continuo. Si $\partial D$ basta con cierta regularidad condición, entonces el problema de Dirichlet \begin{align*} \Delta u(x) &= 0 &\forall x \in D\\ u(x) y= f(x) &\forall x \in \parcial D\\ u(x) &\text{ continua} &\forall x \in \overline D \end{align*} tiene la solución única de $u(t,x) := \mathbb E^x f\big(B_{\tau_{D^c}}\big)$.

El Laplaciano como generador también juega un papel clave a la hora de definir el movimiento Browniano en los colectores.

7voto

aronchick Puntos 2939

Seguro. Es una manera de interpretar el laplaciano de una función en un punto, $\Delta f(p)$, como una medida de la "media de flexión" de la imagen en $f(p)$.

Tenga en cuenta que en las dimensiones superiores, esto no es realmente muy intuitiva, debido a la "media" de la parte de la "media de flexión": una función puede tener todas las segundas derivadas negativo, excepto uno, que es muy grande y positivo, y sin embargo han positivo Laplaciano en ese punto. En tales situaciones, sería mejor teniendo en cuenta el pleno de la Hessiana de la función, o que los valores propios de ella, a su vez.

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