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¿Por qué son caja topología y la topología producto en productos infinitos de espacios topológicos?

¿Por qué son caja topología y la topología producto en productos infinitos de espacios topológicos?

Estoy leyendo topología de Munkres. Mencionó que hecho pero no veo por qué es cierto que son diferentes en productos infinitos.

Por lo tanto, alguien por favor me puede decir ¿por qué no son las mismas en productos infinitos de espacios topológicos?

52voto

cws Puntos 981

Deje $X_n$ ser espacios topológicos para cada una de las $n\in\mathbb{N}$. Para evitar las cuestiones señaladas por Najib, asumir por cada una de las $n$ que $X_n$ no es un punto, y la topología en $X_n$ no es la topología trivial (es decir, no existe un conjunto abierto, además de a$\emptyset$$X_n$). Para cada una de las $n$, vamos a $U_n \subset X_n$ ser adecuada, no vacío abierto subconjunto. Entonces el conjunto $U := \prod\limits_{n\in\mathbb{N}} U_n$ es abrir en el cuadro de la topología en $\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n$, pero no el producto de la topología.

El producto de la topología generada por los conjuntos de la forma $\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} U_n$ donde cada una de las $U_n$ está abierto en $X_n$ y, para todos, pero un número finito de $n$,$U_n = X_n$. En otras palabras, casi la totalidad de los factores tiene que ser todo el espacio. Para el cuadro de topología, cada factor de $U_n$ sólo tiene que ser abierta en $X_n$.

Aquí es una manera de entender por qué el producto de la topología es la más importante (aunque el cuadro de topología parece más intuitivo al principio). El producto de la topología es la más pequeña de la topología tal que para cada una de las $k\in\mathbb{N}$, el mapa de proyección $\pi_k:\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n\to X_k$ es continua. La preimagen de un conjunto abierto $U_k\subseteq X_k$ través $\pi_k$ es uno de los sets básicos para el producto de la topología descrita anteriormente: en concreto, es $U_k$ $k$th factor y todo el espacio $X_n$ en cada uno de los otros factores. Para generar una topología, necesitamos incluir finito intersecciones de dichos conjuntos (por lo que no todo el espacio en un número finito de posiciones), pero no infinito intersecciones. Así que pensar sobre el deseo de la $\pi_k$ a ser continua, el producto de la topología tiene "suficiente" abrir sets, y el cuadro de topología agrega en el abierto de conjuntos que no son necesarios.

32voto

Ben Millwood Puntos 8924

Las otras dos respuestas [editar: en el momento de escribir] son esencialmente correcta, pero aquí es un ejemplo concreto de por qué el cuadro de topología tiene "demasiados" abrir sets.

Considere la función $f : \mathbb R \to \mathbb R^\mathbb N$$f(x) = (x,x,x,\dots)$. Considerar el subconjunto de $\mathbb R^\mathbb N$ mi $\prod_{n\ge 1}(2^{-n},2^n)$. En el cuadro de la topología de esto está abierto. Su pre-imagen en$f$$\{ x \in \mathbb R : \forall n. x \in (2^{-n},2^n) \}$, pero es fácil ver que sólo $\{ 0 \}$, que no está abierto. Por lo $f$ no es continua!

Usted puede o no puede decidir que este es un resultado sorprendente, pero la propiedad esencial de la topología producto es que se puede identificar funciones continuas puramente mirando a cada individuo de proyección, y con $f$ que es simplemente no es cierto: cada proyección es continua, sino $f$ sí no lo es.

14voto

DanV Puntos 281

La forma más sencilla, tal vez, para ver que una diferencia particular es el producto de un espacio discreto finito.

Considerar el producto de copias de $\Bbb N$ $\{0,1\}$ (con la topología discreta). El resultado es el espacio de Cantor. Este es un espacio métrico compacto, por lo tanto tiene una base contable y sólo $2^{\aleph_0}$ abierto sistemas.

Considerar la topología de la caja en el mismo producto, entonces usted consigue un espacio discreto de tamaño $2^{\aleph_0}$, que por lo tanto tiene $2^{2^{\aleph_0}}$ sistemas abiertos y es sin duda no compacta.

10voto

blue Puntos 11796

Sus básicos de abrir los conjuntos son la misma: productos directos de bloques abiertos. Excepto en la topología producto, todos, excepto un número finito de los bloques abiertos debe ser todo el espacio en que coordinar. Cualquier finito intersección de estos tipos de conjuntos también tiene la misma propiedad, por lo que para cualquier conjunto abierto en la topología producto, la imagen en virtud de que el conjunto abierto es todo el codominio para todos, pero un número finito de coordenadas de las proyecciones.

Por ejemplo, $(0,1)^\Bbb N\subset\Bbb R^\Bbb N$ es abrir en el cuadro de topología, pero es "demasiado fuerte" para ser abierto en la topología producto. Sin embargo $(0,1)\times\Bbb R\times\Bbb R\times\cdots$ es abierto en la topología producto, puesto que sólo uno de los factores que no es del todo el espacio. (Por supuesto, estos son sólo los sets básicos. En general, abrir conjuntos no puede ser descrito como productos directos de abrir conjuntos de cada espacio de coordenadas, sino la arbitrariedad de los sindicatos de estos bloques abiertos.) El producto de la topología en $\prod X_i$ es todo acerca de hacer todas las coordenadas de las proyecciones continuas y nada más, por lo que el abrir establece en el producto de la topología son generados por el preimages de abrir establece en estas coordenadas de las proyecciones - que es donde tenemos el open básica de conjuntos.

Pero nada abierto en la topología producto es abrir en el cuadro de topología. Para infinite, a continuación, el cuadro de topología es estrictamente más fina que la topología producto.

2voto

Arctictern Puntos 85

El cuadro de topología es idéntica a la topología producto sobre finito productos de espacios topológicos, debido a que el sistema es cerrado bajo intersecciones finitas. Porque no es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, esto ya no es cierto para los productos infinite.

En un "sistema abierto" (realmente no es un nombre establecido), el sistema de bloques abiertos sólo sería cerrado bajo arbitraria de los sindicatos, pero nada puede decirse acerca de las intersecciones. En ese caso, el cuadro de la topología y de la topología producto son diferentes incluso para finito de productos de los "sistemas abiertos". (El cuadro de topología define un monoidal simétrica producto, pero ¿y qué?) El cierre arbitrario de los sindicatos permite definir un interior operador, que una parte importante de un espacio topológico. El cierre bajo finito intersecciones asegurar que los espacios topológicos se comportan cerca de nuestra intuitiva de las expectativas, lo que también explica su estrecha conexiones formales intuitionistic lógica.

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