Este hecho se basa en la suposición tácita de que el cálculo de las intersecciones se realiza dentro de la red $\mathcal P(X)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ donde las operaciones de la red son la intersección y la unión (los elementos en $\mathcal (X)$ se ordenan por inclusión de conjuntos).
Ahora, en $\mathcal P(X)$ hay un elemento mayor, a saber $X$ . La intersección de ningún conjunto es igual a ese elemento mayor. Para ver, que pensar en la propiedad de la intersección, que si $U\subseteq V$ donde $U,V$ cada uno es una familia de subconjuntos de $X$ entonces la intersección de todos los conjuntos en $V$ está contenida en la intersección de todos los conjuntos de $U$ . Es decir, si se intersecan más conjuntos se obtiene un subconjunto más pequeño. Así que, por ese razonamiento, la intersección de ningún conjunto debería ser lo más grande posible, por lo que es $X$ . (De forma más general, en cualquier celosía el encuentro del conjunto vacío si el elemento más grande de la celosía (por ejemplo, el infimo en $\mathbb R$ del conjunto vacío no existe, pero si se adjunta $\infty $ a $\mathbb R$ de la forma habitual, entonces el ínfimo del conjunto vacío en $\mathbb R \cup \{\infty \}$ es $\infty $ ).)
Por lo tanto, a partir de $S$ y formando todas las intersecciones de sus elementos se obtiene $\{X\}$ . Ahora, formando todos los sindicatos de la clase $\{X\}$ da lugar a $\{\emptyset, X\}$ . Está claro por qué $X$ está ahí. $\emptyset $ también está ahí por la doble razón de que $X$ es la intersección en $\mathcal P(X)$ de ningún conjunto. La unión de ningún conjunto debe ser lo más pequeño posible, es decir, el conjunto vacío. (Del mismo modo, el supremum en $[0,\infty )$ del conjunto vacío es $0$ ).
Hay que tener en cuenta que esto puede tomarse como una definición arbitraria, adoptada ya que concuerda con lo que se quiere que den los cómputos, pero en realidad es estrictamente una consecuencia de las definiciones de infimo y supremum en los retículos. Sólo hay que darse cuenta de que se está computando en el retículo $\mathcal P(X)$ .