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Una posible implicación lógica vacía en Topología

Mientras leía "Introducción a la Topología y al Análisis Moderno" de G.F Simmons, en el capítulo sobre Espacios Topológicos, me encontré con la siguiente afirmación que me pareció inusual. Me parece que puede ser una verdad vacía, pero no sé por qué. La afirmación es la siguiente ad verbatim:

Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío. Sea $\mathcal{S}$ sea una clase arbitraria de subconjuntos de $X$ .

Si $\mathcal{S}$ es vacía, entonces la clase de todas las intersecciones finitas de sus conjuntos es la clase de elemento único $\{X\}$ y la clase de todas las uniones de conjuntos de esta clase es $\{\varnothing,X\}$ .

No sigo este argumento. Así que agradecería que alguien arrojara algo de luz sobre esta cuestión. Si es una verdad vacía, me gustaría ver cómo.

Si esta pregunta se ha hecho antes, me gustaría saber en qué título se encuentra, ya que no la he encontrado.

7voto

DiGi Puntos 1925

Ambos son ejemplos de que algo es vacuamente cierto, aunque hay que pensar un poco para verlo.

Desde $\mathcal{S}\subseteq\wp(X)$ para cualquier $\mathscr{U}\subseteq\mathcal{S}$ tenemos

$$\bigcup\mathscr{U}=\{x\in X:\exists U\in\mathscr{U}(x\in U)\}\tag{1}$$

y

$$\bigcap\mathscr{U}=\{x\in X:\forall U\in\mathscr{U}(x\in U)\}\;.\tag{2}$$

Tomemos $(2)$ primero. ¿Cómo se podría demostrar de forma concluyente que algunos $x\in X$ hizo no pertenecen a $\bigcap\mathscr{U}$ ? Habría que demostrar que hubo algún $U\in\mathscr{U}$ tal que $x\notin U$ . Si $\mathscr{U}=\varnothing$ Es imposible incluso encontrar un $U\in\mathscr{U}$ y mucho menos uno que no contenga $x$ , por lo que es imposible demostrar que $x\notin\bigcap\mathscr{U}$ . Así, $x\in\bigcap\mathscr{U}$ para todos $x\in X$ si $\mathscr{U}=\varnothing$ y por lo tanto $\bigcap\mathscr{U}=X$ cuando $\mathscr{U}=\varnothing$ . En particular, si $\mathcal{S}=\varnothing$ entonces $\mathscr{U}\subseteq\mathcal{S}$ significa que $\mathscr{U}=\varnothing$ y por lo tanto que $\bigcap\mathscr{U}=X$ .

Tratamos con el sindicato de la misma manera. Dado un determinado $x\in X$ ¿Cómo se demuestra que $x\in\bigcup\mathscr{U}$ ? Demuestra que hay una $U\in\mathscr{U}$ tal que $x\in U$ . Si $\mathscr{U}=\varnothing$ ni siquiera puedes encontrar un $U\in\mathscr{U}$ y mucho menos uno que contenga $x$ , por lo que debe ser que $x\notin\bigcup\mathscr{U}$ . Eso es cierto para todos $x\in X$ Así que si $\mathscr{U}=\varnothing$ entonces $\bigcup\mathscr{U}=\varnothing$ .

Tenga en cuenta que en $(1)$ y $(2)$ Tuve cuidado de limitar los posibles miembros de $\bigcup\mathscr{U}$ y $\bigcap\mathscr{U}$ a $X$ . Esto no importaba mucho para $(1)$ ya que el argumento dado para demostrar que no $x\in X$ pertenece a $\bigcup\varnothing$ funciona igualmente bien para cualquier $x$ y llegaríamos a la conclusión de que $\bigcup\varnothing=\varnothing$ incluso sin la restricción. Es muy importante para $(2)$ Sin embargo, sin la restricción acabamos concluyendo que $\bigcap\varnothing$ contiene todo $-$ que es el "conjunto" de todos los conjuntos, que no existe. Al especificar que $\mathcal{S}$ es una clase de subconjuntos de $X$ , Simmons está limitando implícitamente los candidatos a ser miembros de $\bigcap\mathscr{U}$ (donde $\mathscr{U}\subseteq\mathcal{S}$ ) a elementos de $X$ .

3voto

jmans Puntos 3018

Este hecho se basa en la suposición tácita de que el cálculo de las intersecciones se realiza dentro de la red $\mathcal P(X)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ donde las operaciones de la red son la intersección y la unión (los elementos en $\mathcal (X)$ se ordenan por inclusión de conjuntos).

Ahora, en $\mathcal P(X)$ hay un elemento mayor, a saber $X$ . La intersección de ningún conjunto es igual a ese elemento mayor. Para ver, que pensar en la propiedad de la intersección, que si $U\subseteq V$ donde $U,V$ cada uno es una familia de subconjuntos de $X$ entonces la intersección de todos los conjuntos en $V$ está contenida en la intersección de todos los conjuntos de $U$ . Es decir, si se intersecan más conjuntos se obtiene un subconjunto más pequeño. Así que, por ese razonamiento, la intersección de ningún conjunto debería ser lo más grande posible, por lo que es $X$ . (De forma más general, en cualquier celosía el encuentro del conjunto vacío si el elemento más grande de la celosía (por ejemplo, el infimo en $\mathbb R$ del conjunto vacío no existe, pero si se adjunta $\infty $ a $\mathbb R$ de la forma habitual, entonces el ínfimo del conjunto vacío en $\mathbb R \cup \{\infty \}$ es $\infty $ ).)

Por lo tanto, a partir de $S$ y formando todas las intersecciones de sus elementos se obtiene $\{X\}$ . Ahora, formando todos los sindicatos de la clase $\{X\}$ da lugar a $\{\emptyset, X\}$ . Está claro por qué $X$ está ahí. $\emptyset $ también está ahí por la doble razón de que $X$ es la intersección en $\mathcal P(X)$ de ningún conjunto. La unión de ningún conjunto debe ser lo más pequeño posible, es decir, el conjunto vacío. (Del mismo modo, el supremum en $[0,\infty )$ del conjunto vacío es $0$ ).

Hay que tener en cuenta que esto puede tomarse como una definición arbitraria, adoptada ya que concuerda con lo que se quiere que den los cómputos, pero en realidad es estrictamente una consecuencia de las definiciones de infimo y supremum en los retículos. Sólo hay que darse cuenta de que se está computando en el retículo $\mathcal P(X)$ .

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