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Ecuación diferencial

Estoy tratando de resolver

$ f''(x)+2 x f(x)f'(x) = 0$

con condiciones de límite$f(-\infty)=1$ y$f(\infty)=0$. He encontrado que, por ejemplo,$f(x) = 3/2 x^{-2}$, pero obviamente no satisface las condiciones de contorno adecuadas. ¿Alguna idea para una solución?

3voto

MyPreciousss Puntos 357

(esto no es una respuesta, pero esto no funciona bien como un comentario)

Para resolver$y''+2xyy'=0$ podríamos notar$(xy^2)' = y^2+ 2xyy'$ así$$ y''+(xy^2)'-y^2 = 0 $ $ o$$ (y'+xy^2)' - y^2 = 0 $ $ También intenté multiplicar por$y'$ para buscar alguna ecuación de energía, pero la presencia de ese$x$ está obstaculizando mi estilo. Apuesto a que alguien puede resolver esto.

2voto

doraemonpaul Puntos 8603

Sugerencia:

Este pertenece a una generalizada de Emden–Fowler ecuación.

$f''(x)+2xf(x)f'(x)=0$

$\dfrac{d^2f}{dx^2}=-2xf\dfrac{df}{dx}$

$\therefore\dfrac{d^2x}{df^2}=2fx\left(\dfrac{dx}{df}\right)^2$

Siga el método en http://science.fire.ustc.edu.cn/download/download1/book%5Cmathematics%5CHandbook%20of%20Exact%20Solutions%20for%20Ordinary%20Differential%20EquationsSecond%20Edition%5Cc2972_fm.pdf#page=377:

Deje $\begin{cases}y=\dfrac{df}{dx}\\t=f^2\end{cases}$ ,

A continuación, $\dfrac{d^2t}{dy^2}=2y^{-1}t^{-\frac{1}{2}}\left(\dfrac{dt}{dy}\right)^3$

$\therefore\dfrac{d^2y}{dt^2}=-2t^{-\frac{1}{2}}y^{-1}$

Lo que se reduce a un Emden–Fowler ecuación.

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