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¿Qué transformaciones del plano son geométricamente construible (brújula y borde recto)?

La congruencia de las transformaciones (isometrías) y la similitud de las transformaciones (isometrías + dilataciones) debe ser construible. ¿Qué otras transformaciones afines? Otros conformación de las asignaciones?

edit: por construible, me refiero a que, dada la definición de la información para la transformación en una forma geométrica (por ejemplo, una dilatación requiere de un centro y de una relación, de modo que el dado puede ser un punto y dos segmentos), se puede construir la imagen de un punto objeto de la transformación de su preimagen?

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pix0r Puntos 17854

editar (2010-07-26): La cuestión es mucho más complicado de lo que yo había pensado originalmente. Como implícita en la pregunta, sabía que la congruencia y la semejanza de las transformaciones son construibles. Inmediatamente debajo de esta sección es mi respuesta original, que sólo demuestra la congruencia de las transformaciones y la intención era más para dar una idea de lo que una respuesta podría parecer (ya que, en el momento, no había otra respuesta que no fue particularmente útil). En la última sección de esta respuesta es mi justificación de que todas las transformaciones afines del plano son construibles. En la re-lectura que ahora, me doy cuenta de que yo había asumido la capacidad para construir un punto, decir $P'$, en una línea, decir $\overleftrightarrow{RP}$, de tal manera que $\frac{RP'}{RP}$ es igual a algunos de la conocida relación. Esto es equivalente a ser capaz de construir la dilatación de $P$ por la conocida relación acerca de centro $R$. He añadido de la construcción de dicha dilatación debajo de la congruencia de transformación de la sección.

editar (2012-01-28): Una conversación con algunos colegas me recordó acerca de este problema y en el inicio de preguntar acerca de esto, me di cuenta de que me había perdido por completo que todas las transformaciones de Möbius son construibles. Desde cualquier transformación de Möbius puede ser expresado como una composición de la traducción, la reflexión, la inversión, la dilatación, la rotación y la traducción (creo que hay un típico descomposición que es más o menos en ese orden, de ahí mi listado de traducción de dos veces). El único de estos que todavía no he demostrado es edificable es la inversión, por lo que me han añadido que las obras de construcción.


Como una respuesta parcial, aquí están las construcciones de los básicos de la congruencia de las transformaciones, asumiendo básicos de las técnicas de construcción, como la construcción de una recta paralela o perpendicular a una recta dada por un punto dado y el ángulo-copiar:

  1. la reflexión Da un punto de $P$ y una línea de $\ell$, la construcción de la línea perpendicular a $\ell$ a través de $P$, y construir el círculo centrado en la intersección de esta nueva línea y $\ell$ y pasando a través de $P$. La imagen de $P$ bajo una reflexión sobre la línea de $\ell$ es el punto de intersección de la circunferencia y la nueva línea (el que no se en $P$).

  2. traducción Dado un punto de $P$ y un vector $\overrightarrow{AB}$ ( $A$ $B$), la construcción de la línea a través de $A$$P$, la línea a través de $B$ paralelo a la línea de $\overleftrightarrow{PA}$, y la línea a través de $P$ paralelo a $\overrightarrow{AB}$. La imagen de $P$ bajo la traslación por el vector $\overrightarrow{AB}$ es la intersección de los dos construyó parallels.

  3. rotación Dado un punto de $P$, un centro de rotación $R$, y un $\angle ABC$ ( $A$ $C$), la construcción de la línea a través de $P$$R$, copie $\angle ABC$ tal que la copia de $B$ coincide con $R$ y la copia de $A$ es de ray $\overrightarrow{RP}$ y dejar que la copia de $C$ ser llamado $D$, construir el círculo con el centro en $R$ y pasando a través de $P$. La imagen de $P$ bajo de rotación por $\angle ABC$ sobre el punto de $R$ es la intersección del círculo con rayos $\overrightarrow{RD}$.


dilatación Dado un punto de $P$, un centro de dilatación $R$, y una relación de $\frac{AC}{AB}$ (donde el punto de $C$ se encuentra en ray $\overrightarrow{AB}$), traducir $B$ $B'$ $C$ % # % a través de la traducción que se lleva a $C'$$A$, la construcción de la línea de $R$, construir la línea a través de $\overleftrightarrow{B'P}$ paralelo a $C'$, y la construcción de ray $\overleftrightarrow{B'P}$. La imagen de $\overrightarrow{RP}$ en una dilatación acerca de $P$ por un factor de $R$ es la intersección de los rayos $\frac{AC}{AB}$ y la línea a través de $\overrightarrow{RP}$ paralelo a $C'$.


Todas las transformaciones afines son construibles. Por MathWorld y la Wikipedia, una transformación afín de que el avión es una transformación del plano que se conserva de la colinealidad y conserva las proporciones de las distancias en cualquier línea dada.

En primer lugar, demostrar que la afín de preservar el paralelismo, supongamos que dos líneas de $\overleftrightarrow{B'P}$ $\overleftrightarrow{MN}$ son paralelas, y que sus imágenes, líneas $\overleftrightarrow{PQ}$$\overleftrightarrow{M'N'}$, se cruzan en $\overleftrightarrow{P'Q'}$, la imagen de $X'$. Desde afín de preservar la colinealidad, $X$ debe ser en $X$ y en $\overleftrightarrow{MN}$, lo cual es una contradicción, por lo $\overleftrightarrow{PQ}$ $\overleftrightarrow{M'N'}$ no se cruzan. Por lo tanto, afín de preservar el paralelismo.

Una transformación afín es determinado por un $\overleftrightarrow{P'Q'}$ y a su imagen, $\triangle ABC$ (por MathWorld; Wikipedia habla acerca de la definición de una transformación afín por un paralelogramo y de su imagen, que es equivalente desde afín de preservar el paralelismo). Dado el punto de $\triangle A'B'C'$ y triángulos $P$$\triangle ABC$, la construcción de la línea de $\triangle A'B'C'$ a través de $\ell_1$ paralelo a $P$ y la línea de $\overline{AB}$ a través de $\ell_2$ y en paralelo a $P$, llame a la intersección de las $\overline{AC}$ con $\ell_1$ $\overline{AC}$ y llamar a la intersección de $I_1$ con $\ell_2$ $\overline{AB}$, extender $I_2$ pasado $\overline{A'B'}$ a un punto de $B'$ tal que $I'_2$, extender $\frac{AB}{AI_2}=\frac{A'B'}{A'I'_2}$ pasado $\overline{A'C'}$ a un punto de $C'$ tal que $I'_1$, la construcción de la línea de $\frac{AC}{AI_1}=\frac{A'C'}{A'I'_1}$ a través de $\ell'_1$ paralelo a $I'_1$ y la línea de $\overline{A'B'}$ a través de $\ell'_2$ paralelo a $I'_2$. La imagen de $\overline{A'C'}$ bajo la transformación afín de asignación de $P$ a $\triangle ABC$ es la intersección de las líneas de $\triangle A'B'C'$$\ell'_1$.


de inversión , Dado un punto de $\ell'_2$ y un círculo centrado en $P$, construir ray $O$, vamos a $\overrightarrow{OP}$ ser el punto de intersección de las $X$ con el círculo. La imagen de $\overrightarrow{OP}$ con la inversión, a través de un círculo es la imagen de $P$ en una dilatación por $X$ centrada en $\frac{OX}{OP}$.

2voto

Can Berk Güder Puntos 661

No todos transformación que enviar a cada punto (x,y) otro punto (x',y'), que puede ser calculada a partir de la primera por realizar únicamente los cuatro operaciones y la extracción de la raíz cuadrada?

1voto

Andrew Shevchuk Puntos 11

Todas las transformaciones de Möbius (es decir, translaciones, rotaciones, dilataciones, y transversiones) sin duda puede ser construido, ya que son sólo las composiciones de inversiones (que son, por supuesto generalizado de reflexiones) por el Cartan-Dieudonne teorema. De hecho, estas son sólo las transformaciones que se relacionan todos los posibles primitivas geométricas (en este caso generalizada círculos) para cada uno de los otros.

Sin embargo, la anterior afirmación de que todas las transformaciones afines pueden ser construidos aparece engañosa para mí. Todos los triángulos son equivalentes modulo una transformación afín, pero es bien sabido que sólo un subconjunto denso de todos los verdaderos valores de los ángulos es construible con regla y compás. Por ejemplo, no hay triángulo con un ángulo de 20° puede ser construido, por lo que no existe ningún triángulo puede ser transformado en uno con un ángulo de 20°. Si uno se presenta con dos arbitraria de los triángulos de arriba, a continuación, que pueden ser utilizados para definir una particular transformación afín, pero ninguno de los triángulos pueden ser ellos mismos edificable y de modo genérico transformación afín no es edificable generalizados círculos con un compás y una regla.

0voto

gagneet Puntos 4565

Transformaciones Proyectivas

Transformaciones proyectivas de la (proyectiva) plano de $\mathbb{RP}^2$ puede ser construida utilizando sólo la regla. La definición de entrada son cuatro preimagen puntos y sus correspondientes imágenes.

Cuatro puntos de $A$ a través de $D$ en posición general, junto con sus puntos de imagen $A'$ a través de $D'$ nuevo en posición general, únicamente definir una transformación proyectiva. Para cada punto de $E$, la línea de $AE$ intersecta $BC$ en un momento dado, y $AD$ intersecta $BC$ en otro punto. Junto con los puntos de $B$ $C$ sí, esto da cuatro puntos sobre la línea de $AB$. Por una construcción similar, cuatro puntos en $AD$ puede ser construido, utilizando las conexiones de $BE$$BC$. La cruz proporción de cuatro puntos sigue siendo la misma en virtud de transformaciones proyectivas. En el lado de la imagen, las líneas de $B'C'$ $A'D'$ ya tiene tanto sus extremos y su intersección ya definidos. Por lo tanto el cuarto punto que tiene la misma cruz de relación está definida de forma única. Utilizando en la mayoría de los dos pserspectivities, uno puede transferir la cruz proporción de la preimagen a la línea de la imagen. Hacerlo para ambas líneas da dos puntos, que conectado a $A$ resp. $B$ se intersectan en el punto de la imagen $E'$.

Los cálculos

Usted puede elegir un proyectiva base de cuatro puntos, que corresponden a las siguientes coordenadas homogéneas:

\begin{align*} A&=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} & B&=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} & C&=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} & D&=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{align*}

En común incrustaciones de la proyectiva del plano, dos de ellas sería "en el infinito", en cuyo caso los cálculos descritos a continuación incluiría cosas como líneas paralelas, para el que probablemente iba a necesitar algún tipo de compás. Pero también puedes elegir un projectively transformado situación (o una incrustación, que es un punto de vista diferente sobre la misma cosa), de modo que los cuatro puntos son finitos, y usted puede hacer la mayoría de las cosas que voy a esbozar a continuación usando la regla solo.

Usted puede obtener líneas que sirven como ejes de coordenadas de los puntos dados anteriormente. También puede proyectar todos los puntos del plano en estos ejes. Hay construcciones dada por von Staudt que realizar adiciones y multiplicaciones en un proyectiva de la línea. Por otra parte, ustedes necesitan los puntos para "cero" y "infinito", que a lo largo de la $x$ eje sería $C$$A$. Para la multiplicación se necesita también un punto en la posición "uno", que sería la intersección de $AC$$BD$.

Por lo tanto, dado un cierto proyectiva marco de referencia (los cuatro puntos de $A$ a través de $D$), puede hacer lo siguiente:

  • construcción de puntos en una línea que corresponde a las coordenadas originales
  • construcción de puntos en la misma línea correspondiente a la arbitraria racional de los números
  • constructivamente realizar las operaciones elementales de cálculo, como la suma, la resta, la multiplicación y la división
  • el uso de estas operaciones para calcular/construir nuevas coordenadas
  • gire a estas coordenadas de vuelta a un punto en el plano

A menos que usted golpea el caso especial de líneas paralelas resp. los puntos en el infinito, todo lo anterior se puede realizar utilizando sólo una regla. Tantas cosas que se pueden calcular a partir de las coordenadas de hecho, puede ser construido. Supongo que esto es lo que @mau significó en su respuesta. Desde que le preguntó acerca de regla y compás, usted no tiene que preocuparse por el caso especial de las líneas paralelas, y usted puede agregar tomar vallisoletana plaza de las raíces a los conjuntos de primitivas de las operaciones.

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