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Es $[0,1) \times [0,1]$ un continuo lineal?

Leí que el espacio topológico $X=[0,1) \times [0,1]$ con el orden del diccionario y la topología de orden no es un continuo lineal, ya que no satisface la propiedad de menor límite superior. (La definición de un continuo lineal es un orden lineal denso con la propiedad de menor límite superior).

Sin embargo, no encuentro un conjunto delimitado no vacío sin supremacía que lleve a esta violación. Mi pensamiento es que si $A$ es cualquier subconjunto, y $ \pi_1 (A)$ es la proyección sobre la primera coordenada, entonces $b= \sup ( \pi_1 (A))$ debe existir, ya que si $ \pi_1 (A)$ no está limitado, entonces $A$ no está limitado arriba en $X$ . Entonces el límite superior mínimo de $A$ es $ \sup ( \pi_1 (A)) \times \sup ( \pi_2 (A \cap (b \times [0,1])))$ . Siento que la única dificultad ocurre cuando $ \sup ( \pi_1 (A))=1$ pero entonces $A$ no estaría limitado en primer lugar, por lo que la situación no se aplica. ¿Está mi pensamiento equivocado, o es $X$ en realidad un continuo lineal?

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notpeter Puntos 588

Sí, este es un continuo lineal, aunque su argumentación no es del todo perfecta. Si $b= \sup ( \pi_1 (A))=1$ Entonces, como usted dice $A$ no tiene límites; si $b<1$ Luego están los casos $(1)$ que $A$ intersecta $b= \sup ( \pi_1 (A)) \times [0,1]$ y $(2)$ cuando no lo hace, como cuando $A=(0,1/2) \times [0,1]$ .

En caso de que $(1), \langle b,1 \rangle $ es un límite superior obvio para $A$ así que es evidente que $ \sup A= \langle b, \sup [ \pi_2 (A \cap (b \times [0,1]))] \rangle $ como usted sugirió. En caso de que $(2)$ debemos todavía toma $b$ la primera coordenada de $ \sup A$ pero como ningún elemento de $b \times [0,1]$ intersecta $A$ tenemos $ \langle b,0 \rangle $ así que incidentalmente podríamos combinar estos dos casos a través de la convención estándar que $ \sup \emptyset = \inf X$ para un orden lineal $X$ .

Edita : mala idea eliminada.

Podrías haber estado pensando en $[0,1] \times [0,1)$ que no es un continuo lineal bajo el orden lexicográfico, porque por ejemplo $[0,1/2] \times [0,1)$ tiene $ \langle 1,0 \rangle $ como un límite superior, pero no menos importante.

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