Multiplicación escalar de límites $\epsilon$ - $\delta $ Prueba

Question

Tengo problemas para entender el $\epsilon$ - $\delta $ prueba de la propiedad de multiplicación escalar de los límites, que básicamente dice:

$$\lim_{x\to a}[f(x) \cdot c]=c\cdot L$$

Tal y como yo lo entiendo (que no me parece un buen entendimiento) nuestra elección de $\delta$ es $\frac{\epsilon}{|c|}$ y luego sustituimos este valor de $\delta$ en el antecedente o en el consecuente?

En segundo lugar, estamos tratando básicamente de satisfacer la definición, en este caso, $$|x-a|<\delta \Longrightarrow |c \cdot f(x)-c \cdot L|< \epsilon$$ ¿verdad? Entonces, ¿debo partir de esta definición(abajo) y tratar de trabajar crear lo anterior a la definición anterior(así que sustituir en el consecuente)?

$$|x-a|<\delta \Longrightarrow | f(x)- L|< \frac{\epsilon}{|c|}$$

Además, ¿por qué esta prueba utiliza $\delta=\delta_1$ ??

La prueba de la imagen es del siguiente enlace: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx

Answer 1

Se le da que $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ . Esto significa que dado cualquier "valor positivo" existe "otro valor positivo" (depende del "valor positivo") tal que

si $0<|x-a|<$ "otro valor positivo" entonces $|f(x)-L|<$ "valor positivo". Este es el hecho que tenemos.

Ahora, tienes que demostrar que dado cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ , de tal manera que $0<|x-a|<\delta$ entonces $|cf(x)-cL|<\epsilon$ .

Así que, primero toma cualquier $\epsilon>0$ . Entonces $\epsilon/|c|$ también es positivo. Entonces, por el hecho que tenemos, existe un $\delta>0$ de manera que si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-L|<\epsilon/|c|$ . Esto significa que $|cf(x)-cL|<\epsilon$ . Así que, hemos terminado.

Answer 2

Sólo elegimos un $\delta$ a lo largo de esta pregunta.

Lógicamente, primero establecemos que el error sea $\dfrac\epsilon{|c|}$ Entonces, a partir de $$\lim_{x\to a} f(x)= L,$$ obtenemos $\delta_1>0$ tal que

$$\color{\red}{0<}|x-a|<\delta_1 \implies | f(x)- L|< \frac{\epsilon}{|c|}.$$

A continuación, establecemos $\delta = \delta_1$ , y mover $|c|$ al LHS.

$$\color{\red}{0<}|x-a|<\delta \implies |cf(x)- cL|< \epsilon.$$

Por lo tanto, $$\lim_{x\to a}[f(x) \cdot c]=c\cdot L.$$