19 votos

Demostrar que $\int^{1}_{0} f^{-1} = 1 - \int^1_0 f$

Uno más de difícil de creer los hechos, que tengo curiosidad de por qué son verdaderas.

Deje $f : [0,1] \rightarrow [0,1] $ es de tipo continuo, monótonamente creciente y surjective función

Entonces

$$\int^{1}_{0} f^{-1} = 1 - \int^1_0 f$$

Lo siento si se ha preguntado, pero no puedo encontrar.

He intentado utilizar el teorema acerca de la derivada de la inversa de la función, pero yo no era capaz de hoy para conectarse con esta tarea.

Gracias de antemano por la ayuda!

39voto

Evan Anderson Puntos 118832

Debido a $f$ es continua, monótona creciente y surjective, $f(0) = 0$$f(1) = 1$.

Deje $u = f^{-1}(x)$: $$ \int^1_0 f^{-1}(x) \,dx = \int^1_0 u\, df(u) = uf(u)\bigg|^1_0 - \int^1_0 f(u)\,du = 1- \int^1_0 f(x)\,dx. $$


Acaba de dibujar una imagen utilizando tikz :

int

El código es el siguiente, siéntase libre de tomar y utilizar.

\begin{tikzpicture}[scale=4]
\shade[top color=blue,bottom color=gray!50] plot [smooth, tension=1] 
 coordinates { (0,0) (0.3,0.2) (0.6,0.8) (1,1)} |- (0,0);
\shade[bottom color=cyan,top color=gray!50] plot [smooth, tension=1] 
 coordinates { (0,0) (0.3,0.2) (0.6,0.8) (1,1)} |- (0,1);
\draw (0.7,0.2) node[above]   {$\displaystyle\int_0^{1} f(x)\,dx$};
\draw (0.3,0.7) node[above]   {$\displaystyle\int_0^{1} f^{-1}(y)\,dy$};

\draw[style=help lines] (0,0) grid (1.2,1.2);

\draw[->] (-0.2,0) -- (1.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.2) node[above] {$y$};

\draw plot [smooth, tension=1] coordinates { (0,0) (0.3,0.2) (0.6,0.8) (1,1)};
\end{tikzpicture}

25voto

Michael Hardy Puntos 128804

Dibujar la imagen! El gráfico está dentro de un cuadrado. Escribir $y=f(x)$ y el pensar de una integral como $$ \int_0^1 f(x)\,dx $$ y el otro como $$ \int_0^1 f^{-1}(x)\,dy $$ y aviso de lo que sugiere el uso de $x$ en un caso y $y$ en el otro. Uno de estos es el área bajo la gráfica, y la otra es el área a la izquierda de la gráfica. Las dos áreas se llenan la plaza y no se superponen.

Más tarde edit: Alguien ha escrito casi la misma respuesta que yo escribí, y me gustaría tener votado que si no hubiera sido eliminados.

Hay algo que me gusta llamar la regla de límite que va como esto:

[tamaño de límite] $\times$ [tasa de movimiento de la frontera] = [tasa de cambio de tamaño de la región acotada]

Mira el punto de $(x,y)=(x,f(x))$ e imaginar que se mueve a lo largo de la curva. El rectángulo delimitado por $(0,0)$, $(x,0)$, $(0,y)$ y $(x,y)$ es creciente. Tiene dos en movimiento límites: La vertical que uno se mueve en la tasa de $x'$ y tiene una longitud de $y$, y la horizontal que se mueve a velocidad de $y'$ y tiene una longitud de $x$. Por lo que la tasa de cambio de tamaño del rectángulo es de $x'y+y'x$, pero también es $(xy)'$. De esa manera el producto de la regla de la siguiente manera a partir de la regla de límite. El cambio total como $(x,y)$ atraviesa la totalidad de la curva es $\int(y\,dx + x\,dy)$, pero el cambio total es $1$, el área del cuadrado entero. Para la integración del producto regla de integración por partes. Así que mi siguiente pregunta fue cómo frase como integración por partes. Luego Shuhao Cao publicado la integración por partes de la solución.

Todavía más tarde edit: OK, ¿como esta: $$ \int_0^1 f^{-1}(x)\,dy + \int_0^1 f(x)\,dx = \int (x\,dy+y\,dx) = \left.\int d(xy) = xy\right|_{(x,y)=(0,0)}^{(x,y)=(1,1)}. $$

1voto

Sriti Mallick Puntos 2700

¿Qué acerca de la $$f(x)=\begin{cases}0& \text{ if }0\le x\le \frac{1}{2}\\2x-1 & \text{ if }\frac{1}{2}\le x\le0\end{cases}$$

1voto

Mike Puntos 3295

Yo rembered una manera fácil de ver: la gráfica de la función inversa es la reflexión de la gráfica a través de la línea de $y = x$. Así, en la $[0,1]\times[0,1]$ cuadrado, el área por debajo de $f^{-1}$ es el área por encima de $f$.

el área por debajo de $f^{-1} +{}$ área por debajo de $f =$ área por encima de $f + {}$ área por debajo de $f =$ área total $= 1$

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