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Deje $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ ser una función continua tal que $f(i) = 0$

Deje $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ ser una función continua tal que $f(i) = 0$, para todos los $i\in \mathbb Z$ . Cual de las siguientes declaraciones es verdadera$?$

$(A)$ $\operatorname{Image}(f)$ está cerrado en $\mathbb R$.

$(B)$ $\operatorname{Image}(f)$ está abierto en $\mathbb R$.

$(C)$ $f$ es uniformemente continua.

$(D)$ Ninguna de las anteriores.

Si tomamos $f(x) = 0$, para todos los $x\in \mathbb R$, $\operatorname{Image}(f)$ es un singleton conjunto. También sabemos que cada singleton conjunto es cerrado en $\mathbb R$. Así que la opción de $B$ es malo.

Para la opción $(C)$, aprovecho $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x) = x \sin\pi x $, esta función $f$ no es uniformemente continua. Así que la opción de $C$ también es incorrecto.

Ahora mi problema es que la respuesta a esta pregunta es la opción $D$ pero no soy capaz de conseguir cualquier función para descartar la opción de $A$. Así que por favor me ayude.

Gracias.

11voto

user Puntos 2963

Tomar una función cuya gráfica es un triángulo que conecta $(0, 0)$$(1/2, 1/2)$%#%.

A continuación, conecte $(1, 0)$$(1, 0)$%#%.

A continuación, conecte $(3/2, 3/4)$$(2, 0)$%#%.

Continúe de esta manera, y el rango es $(2, 0)$, que no está cerrado en $(5/2, 7/8)$.


Moraleja de la historia: La imagen de $(3, 0)$ es cerrado para cada una de las $[0, 1)$. Pero una contables de la unión de conjuntos cerrados no siempre cerrado.

7voto

HappyEngineer Puntos 111

Tomar $$f(x)=\frac{\sin\pi x}{1+e^{-x}}.$$ Then show $\mathrm{Im}(f)=(-1,1)$.

O:

$$g(x)=\sin\pi x \arctan x$$

A continuación, $\mathrm{Im}(g)=\left(-\frac \pi 2,\frac \pi 2\right).$

Básicamente, esto es debido a que $x\mapsto \frac{1}{1+e^{-x}}$ $x\mapsto\arctan x$ son funciones crecientes con imágenes de $(0,1)$ $(-1,1)$ respectivamente.

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