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Álgebra homológica para Conmutativa Monoids?

Álgebra homológica para abelian grupos es una herramienta estándar en muchos campos de las matemáticas. Cuánto lleva a la configuración de la propiedad conmutativa monoids (con la unidad)? Parece que hay una noción de corta secuencia exacta. Podemos utilizar esta opción para definir ext grupos que clasifican las extensiones? Qué funciona y qué no funciona y por qué?

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Ryan Ahearn Puntos 3829

Una interpretación de la "derecha" de la categoría para hacer homológica álgebra conmutativa de monoids sería la categoría de simplicial conmutativa monoids. Ahora hasta homotopy, un espacio es una propiedad conmutativa monoid el fib es un conmutativa grupo iff es un producto de Eilenberg-MacLane espacios. Hay algunos detalles para comprobar, pero esto debe implicar que el olvidadizo functor de simplicial abelian grupos simplicial conmutativa monoids es un Quillen equivalencia para el modelo estándar de las estructuras, con la inversa de la de ser el grupo de finalización. Esta correspondencia podría indicar que la correcta noción de "homología" de un simplicial monoid sería la homología de su grupo de finalización como un complejo de cadena.

Sin embargo, esto es probablemente no es lo que usted está buscando, ya que la atención acerca de la monoids, no solo de su grupo-las terminaciones.

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Jay Mooney Puntos 904

Tu pregunta puede ser entendida como la forma de hacer Álgebra Homológica sobre el Campo con un solo Elemento.

Deitmar, en http://arxiv.org/abs/math/0608179 la sección 6, da un ejemplo de lo que puede salir mal si usted trata de hacer gavilla cohomology directamente a través de las resoluciones...

También puede ser que desee mirar a su http://arxiv.org/abs/math/0605429 ; con el fin de construir la K-teoría de monoids que establece un análogo de la Q-construcción. El Hom-conjuntos en la categoría de especie de Exts, tal vez algo para empezar...

Durov, en http://arxiv.org/abs/0704.2030 sigue la simplicial enfoque para conmutativa mónadas, de los cuales conmutativa monoids son un caso especial

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Patrick McElhaney Puntos 22093

Un comentario sobre Eric respuesta (que en su mayoría es la respuesta que yo daría a): lo cierto es que cualquier conectados conmutativa monoid espacio (débilmente) equivalente a un topológico abelian grupo. Un no-conectados topológico conmutativa monoid (o, equivalentemente, un no-conectados simplicial conmutativa monoid) contiene más información que la de su grupo de finalización.

Así que habrá una buena teoría de la "álgebra homológica", a través de simplicial objetos, que está estrechamente relacionado con, pero no equivalentes, álgebra homológica de abelian grupos. Yo no soy consciente de que nadie ha examinado esta cerca, antes de.

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graham.reeds Puntos 9363

Esta es una respuesta a una parte de su pregunta. El papel de la "Extensión de las Teorías de Monoids" por Charles Wells, Semigroup Foro 16 (1978), 13-35, da una respuesta precisa a la pregunta específica: ¿Cómo funciona el Beck cohomology teoría de monoids clasificar las extensiones de monoids? (Se clasifica Sanguijuela extensiones.) El documento con las correcciones y una lista de los posteriores trabajos relacionados a la que se puede encontrar aquí. Beck es la tesis de ahora en línea aquí.

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Bill Puntos 7824

Tenga en cuenta que el álgebra Homológica para abelian grupos es realmente acerca de álgebra homológica en la categoría de Z-módulos.

La vecindad inmediata sé de donde tomamos algo que no es un módulo a través de algún tipo de algeba, es para el grupo cohomology - donde la construcción estándar es agarrar el anillo de grupo, y luego considerar la abelian categoría de los módulos a través del anillo de grupo.

- En el tema en cuestión, esencialmente, es encontrar a ti mismo un abelian categoría que refleja las propiedades de la monoids desea estudiar. Tener a corto exacta de secuencias es un buen comienzo, pero que realmente quiere un abelian categoría para que el estándar de construcciones de álgebra homológica de trabajo.

Y si el monoids sí mismos no ofrecen todo lo que usted desea, siempre puede empezar a buscar en monoid anillos lugar: dado M, forma kM como el k-espacio vectorial generado por una base formal elemento para cada elemento de M, e introducir una estructura de álgebra por la monoid la multiplicación. Después de esto, se puede proceder en analogía con el grupo cohomology.

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