6 votos

¿cuál es el ordinario de la derivada de la función delta de kronecker?

Lo habitual derivada de la función delta de kronecker? He utilizado "ordinario" con el fin de no confundir al lector con la derivada covariante. He intentado lo siguiente: $$\delta[x-n]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(x-n)t}dt$$ pero eso no funciona ya. $x,n \in \mathbb{Z}$, mientras busco el caso de $x \in \mathbb{R}$

3voto

user26872 Puntos 11194

Vamos a abordar este problema a través de la función escalón unitario, $$H(x) = \begin{cases} 0, & x &lt 0 \\ 1, & x \ge 0. \end{casos}$$ Aviso elegimos la convención que $H(0) = 1$.

La delta de Kronecker es entonces $$\delta_{m n} = H(m-n) + H(n-m) - 1.$$ La derivada de la función escalón unitario es la función delta de Dirac, $H'(x) = \delta(x)$. Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial m} \delta_{m n} &=& \delta(m-n) - \delta(n-m) \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$ desde $\delta(-x) = \delta(x)$.

Addendum: Si por el ordinario de la derivada es la derivada en el sentido clásico, a continuación, por supuesto, la derivada es cero en todas partes, excepto en $m = n$ donde es indefinido. Con el fin de definir en $m=n$, lo que parece ser el espíritu de la pregunta, debemos ir a la distribución de derivados, en cuyo caso nos encontramos con la derivada es $0$.

2voto

Xetius Puntos 10445

Como Arturo escribió en un comentario, la función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que para todos los $x\in\mathbb R$ tenemos $$f(x)=\begin{cases}0, & \text{if $x\neq0$;} \\1, & \text{if $x=0$;}\end{cases}$$ is not continuous at $0$. It follows that it does not have a derivative at $0$. Por otro lado, un trivial de cálculo utilizando la definición misma de lo que es un derivado es la voluntad de mostrar que tiene una derivada en todos los otros puntos, que es cero.

N. B. , por supuesto, el párrafo anterior es cierto sólo si interpretamos su pregunta en los términos clásicos. Hay varias otras interpretaciones que se le podría dar a su pregunta, y que iba a cambiar la respuesta. Podríamos pensar que realmente están hablando de derivados en el sentido de la teoría de distribuciones, como en oenamen la respuesta. Usted podría tener algo más en mente. Por favor ser más explícito.

2voto

user8269 Puntos 46

Aprovecho que está definiendo $\delta(x,y)$ a ser una función de 2 variables reales dado por $1$ si $x=y$ $0$ lo contrario. Sugiero entonces que se vaya a la definición de la derivada para funciones de dos variables y ver lo que sucede cuando se aplica a esta función y, a continuación, el informe de nuevo a nosotros en sus conclusiones.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X