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Cómo probar esto $\tan{\frac{2\pi}{13}}+4\sin{\frac{6\pi}{13}}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$

Buena Pregunta:

demostrar que: La siga agradable trigonometría

$$\tan{\dfrac{2\pi}{13}}+4\sin{\dfrac{6\pi}{13}}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$$

Este problema que tengo feo solución,tal vez alguien tenga buen mthods? Gracias

Mi feo solución:

deje $$A=\tan{\dfrac{2\pi}{13}}+4\sin{\dfrac{6\pi}{13}},B=\tan{\dfrac{4\pi}{13}}+4\sin{\dfrac{\pi}{13}}$$ desde $$\tan{w}=2[\sin{(2w)}-\sin{(4w)}+\sin{(6w)}-\sin{(8w)}+\cdots\pm \sin{(n-1)w}]$$ donde $n$ es impar,y $w=\dfrac{2k\pi}{n}$

así

$$\tan{\dfrac{2\pi}{13}}=2\left(\sin{\dfrac{4\pi}{13}}-\sin{\dfrac{5\pi}{13}}+\sin{\dfrac{\pi}{13}}+\sin{\dfrac{3\pi}{13}}-\sin{\dfrac{6\pi}{13}}+\sin{\dfrac{2\pi}{13}}\right)$$ $$\tan{\dfrac{4\pi}{13}}=2\left(\sin{\dfrac{5\pi}{13}}-\sin{\dfrac{3\pi}{13}}-\sin{\dfrac{2\pi}{13}}-\sin{\dfrac{6\pi}{13}}-\sin{\dfrac{\pi}{13}}+\sin{\dfrac{4\pi}{13}}\right)$$ entonces $$A^2-B^2=(A+B)(A-B)=16\left(\sin{\dfrac{\pi}{13}}+\sin{\dfrac{3\pi}{13}}+\sin{\dfrac{4\pi}{13}}\right)\left(\sin{\dfrac{2\pi}{13}}-\sin{\dfrac{5\pi}{13}}+\sin{\dfrac{6\pi}{13}}\right)=\cdots=4\sqrt{13}$$ $$AB=\cdots=6\left(\cos{\dfrac{\pi}{13}}+\cos{\dfrac{2\pi}{13}}+\cos{\dfrac{3\pi}{13}}-\cos{\dfrac{4\pi}{13}}-\cos{\dfrac{5\pi}{13}}+\cos{\dfrac{6\pi}{13}}\right)=\cdots=3\sqrt{3}$$ así $$A=\sqrt{13+2\sqrt{13}},B=\sqrt{13-2\sqrt{13}}$$

Tiene otras buenas metods?

y sé que esto es similares 1982 AMM problema:Cómo probar que: $\tan(3\pi/11) + 4\sin(2\pi/11) = \sqrt{11}$

Pero Mi problema es duro, a continuación, AMM problema。Muchas gracias!

5voto

El siguiente argumento es más o menos un duplicado de este documento:

Deje $x=e^{2\pi i/13}$. A continuación, $$i\tan{2\pi/13}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2-x^{26}}{x^2+1}$$

(recordemos que $x^{13}=1$)

$$=x^2(1-x^2)(1+x^4+x^8+x^{12}+x^3+x^7)$$ $$=(x+x^2+x^5+x^6+x^9+x^{10}-x^3-x^4-x^7-x^8-x^{11}-x^{12})$$

$$4i\sin{6\pi/13}=2(x^3-x^{10})$$

Por lo $i\tan{2\pi/13}+4i\sin{6\pi/13}=(x+x^2+x^3+x^5+x^6+x^9-x^4-x^7-x^8-x^{10}-x^{11}-x^{12})$

Recordemos que $1+x+x^2+\cdots+x^{12}=0$.

Después de algunos tedioso cálculo, llegamos a

$$(x+x^2+x^3+x^5+x^6+x^9)(x^4+x^7+x^8+x^{10}+x^{11}+x^{12})$$

$$=4+x+x^3+x^4+x^9+x^{10}+x^{12}$$

El paso clave en la deducción es el famoso exponencial de la suma de Gauss, lo que da,

$$1+2(x+x^4+x^9+x^3+x^{12}+x^{10})=\sqrt{13}.$$

Por lo tanto $$(x+x^2+x^3+x^5+x^6+x^9)(x^4+x^7+x^8+x^{10}+x^{11}+x^{12})=(7+\sqrt{13})/2$$

Recuerdo nuestra fórmula $1+x+x^2+\cdots+x^{12}=0$ más, y

$$(x+x^2+x^3+x^5+x^6+x^9-x^4-x^7-x^8-x^{10}-x^{11}-x^{12})^2=(-1)^2-4\times(7+\sqrt{13})/2$$ $$=-13-2\sqrt{13}$$

Por lo tanto $i\tan{2\pi/13}+4i\sin{6\pi/13}=\pm i\sqrt{13+2\sqrt{13}}$

y es obvio que $\tan{2\pi/13}+4\sin{6\pi/13}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$, Q. E. D.

P. S. tengo una fuerte sensación de que una generalización de dicha identidad para todos los números primos es posible, pero no puedo trabajar ahora mismo.

5voto

Jonas Hallgren Puntos 318

He aquí un método que utiliza algunos de la teoría de números. Yo no soy más limpio que el tuyo, pero no se aplican técnicas estándar que puede ser bueno para saber (y casi siempre funciona, incluso cuando no hay solución a corto).

Deje $\zeta = \exp\bigl(\frac{2\pi i}{13}\bigr)$. A continuación, $\zeta$ resuelve el 12-orden de la ecuación de $p(\zeta) = \zeta^{12} + \zeta^{11} + \dots + \zeta + 1 = 0$, y ningún polinomio con coeficientes racionales de grado inferior. Tenga en cuenta que $\tan \frac{2\pi}{13} = -i\frac{\zeta - \zeta^{-1}}{\zeta + \zeta^{-1}}$, e $\sin \frac{6\pi}{13} = -i \frac{\zeta^3 - \zeta^{-3}}{2}$. Por tanto, el problema es equivalente a mostrar que la

$$ \xi = \frac{\zeta - \zeta^{-1}}{\zeta + \zeta^{-1}} + 2 (\zeta^3 - \zeta^{-3}) $$

resuelve la ecuación de $ \xi^2 = -13 - 2\sqrt{13} $. Tenga en cuenta que esto es casi equivalente a la ecuación $$(\xi^2 + 13)^2 = 52$$ La diferencia es la elección de $\pm \sqrt{13}$ anterior, que puede en principio ser fijado con algunas estimaciones.

Esta última ecuación debe seguir estrictamente a partir de la ecuación algebraica $p(\zeta) = 0$; en particular, debe mantener para todas las demás raíces de $p$. Esto sugiere que las ideas de la teoría de Galois podría ayudar.

Por lo tanto, vamos a tomar algún tiempo para documentar la teoría de Galois de la algebraicas entero $\zeta$, y del campo de $\mathbb Q[\zeta]$. Comenzamos por calcular el grupo de Galois. Las raíces de $p$$\zeta,\zeta^2,\dots,\zeta^{12}$; y para el grupo de Galois $G = \mathrm{Aut}(\mathbb Q[\zeta])$ orden $12$. Cada elemento de a $f\in G$ es de la forma $f_m : \zeta \mapsto \zeta^m$; tomando nota de que $f_m f_n (\zeta) = f_m( \zeta^n) = (\zeta^m)^n = \zeta^{mn}$, vemos que el grupo de Galois es abelian. Tomando nota de que $3^3 \equiv 1 \pmod {13}$, podemos ver que $f_3$ es un automorphism de orden $3$. Finalmente, $2^4 \equiv 3 \pmod{13}$, lo $(f_2)^4 = f_3$, del que se desprende que $f_2$ es un elemento en el $G$ orden $12$. En particular, $G \cong \mathbb Z/(12)$ es cíclica, es decir, generado por (por ejemplo) $f_2$.

Esto significa que el siguiente. Un elemento de $\mathbb Q[\zeta]$ - es decir, un polinomio en $\zeta$ - es racional iff es invariante bajo $f_2$. Cada elemento de a $\mathbb Q[\zeta]$ resuelve un 12 polinomiales de orden. Desde $f_3$ y su inverso $(f_3)^{-1} = (f_3)^2 = f_9$, son los únicos elementos de $G$ orden $3$, un elemento de $\mathbb Q[\zeta]$ resuelve un 4º polinomiales de orden iff es invariante bajo $f_3$. Tenga en cuenta que $f_4$ genera el subgrupo de orden $6$, que tiene el índice de $2$$\mathbb Z / 6$; por lo tanto, un elemento resuelve una ecuación cuadrática iff es invariante bajo $f_4$. Y así sucesivamente: el subgrupo de orden $2$ es generado por $f_{12} : \zeta \mapsto \zeta^{12} = \zeta^{-1}$, y por lo que los elementos invariantes bajo $f_{12}$, como $\zeta + \zeta^{-1}$, resolver 6to grado de los polinomios.

Volviendo a la $\xi$ a mano, supongamos que no sabemos qué polinomio se supone que debe resolver, y tratar de encontrarlo. Antes de continuar, vamos a factor de una copia de $1 + z^2$$p(z) - 1$, para eliminar denominadores en $\xi$:

$$ p(z) - 1 = (z+z^{-1})(z^2 + z^3 + z^6 + z^7 + z^{10} + z^{11}) $$ $$ \frac1{\zeta + \zeta^{-1}} = -\zeta^2 - \zeta^3 - \zeta^6 - \zeta^{-6} - \zeta^{-3} - \zeta^{-2} $$ $$ \xi = \zeta^1 + \zeta^2 - \zeta^3 - \zeta^4 + \zeta^5 + \zeta^6 - \zeta^{-6} - \zeta^{-5} + \zeta^{-4} + \zeta^{-3} - \zeta^{-2} - \zeta^{-1} + 2(\zeta^3 - \zeta^{-3}) = \zeta^1 + \zeta^2 + \zeta^3 - \zeta^4 + \zeta^5 + \zeta^6 - \zeta^{-6} - \zeta^{-5} + \zeta^{-4} - \zeta^{-3} - \zeta^{-2} - \zeta^{-1}$$

Tenga en cuenta que las órbitas en $f_3$ $\{\zeta,\zeta^3,\zeta^4\}$, $\{\zeta^2, \zeta^6,\zeta^{18} = \zeta^5\}$, y dos más formados a partir de estos por $\zeta \mapsto \zeta^{-1}$. La inspección muestra que el $\xi$ es en el hecho de invariantes bajo $f_3$, por lo tanto resuelve un 4º orden de la ecuación. Las cuatro raíces son necesariamente dado por $\xi, f_2(\xi), f_4(\xi), f_8(\xi)$. Por lo tanto, la ecuación es $(z-\xi)(z-f_2\xi)(z - f_4\xi)(z - f_8\xi)$.

En vez de multiplicar esto, tomemos nota de que $f_4(\xi) = -\xi$, e $f_8(\xi) = -f_2(\xi)$. Esto es debido a que $\xi$ se transforma en un factor de $-1$ bajo la acción de $f_{12} = (f_4)^3$. (Dicho de otra manera, $\xi$ es imaginario puro.) Por lo tanto, estamos buscando para el polinomio

$$ q(z) = \bigl(z^2 - \xi^2\bigr)\bigr(z^2 - f_2(\xi)^2\bigr) $$

ya que ésta será la mínima polinomio con coeficientes racionales resuelto por $\xi$.

Vamos a escribir $\alpha = \zeta + \zeta^3 + \zeta^9$, por lo que el $\xi = \alpha + f_2(\alpha) - f_4(\alpha) - f_8(\alpha)$, e $f_2(\xi) = - \alpha + f_2(\alpha) + f_4(\alpha) - f_8(\alpha)$. Tenga en cuenta también que la definición de la ecuación es $\alpha + f_2(\alpha) + f_4(\alpha) + f_8(\alpha) + 1 = 0$. Estamos reducidos a calcular dos números: $b = \xi^2 + f_2(\xi)^2$$c = \xi^2f_2(\xi)^2$; a continuación,$q(z) = z^4 - bz^2 + c$. Tomamos nota de que

$$ \alpha^2 = f_2(\alpha) + 2\zeta^4 + 2\zeta^{10} + 2\zeta^{12} = f_2(\alpha) + 2f_4(\alpha) $$ $$ \alpha \ f_4(\alpha) = (\zeta + \zeta^3 + \zeta^{-4})(\zeta^4 + \zeta^{-1} + \zeta^{-3}) = 3 + \zeta^5 + \zeta^{-2} + \zeta^{-6} + \zeta^2 + \zeta^{-5} + \zeta^6 = 3 + f_2(\alpha) + f_8(\alpha) $$

Escrito $\beta = \alpha - f_4(\alpha)$, tenemos: $$ \xi = \beta + f_2(\beta), \quad f_2(\xi) = -\beta + f_2(\beta) $$ $$ b = \xi^2 + f_2(\xi)^2 = 2 (\beta^2 + f_2(\beta)^2) $$ $$ c = \bigl(\xi f_2(\xi)\bigr)^2 = \bigl(\beta^2 - f_2(\beta)^2\bigr)^2 $$

$$ \beta^2 = \alpha^2 + f_4(\alpha)^2 - 2\alpha \ f_4(\alpha) = f_2(\alpha) + 2f_4(\alpha) + f_8(\alpha) + 2 \alpha - 2(3 + f_2(\alpha) + f_8(\alpha)) = -6 + 2\alpha - f_2(\alpha) + 2f_4(\alpha) - f_8(\alpha)$$ $$ \beta^2 + f_2(\beta)^2 = -12 + (\alpha + f_2\alpha + f_4\alpha + f_8\alpha) = -13 $$ $$ \beta^2 - f_2(\beta)^2 = 3\alpha - 3f_2(\alpha) + 3f_4(\alpha) - 3f_8(\alpha) = 3(\alpha + f_4(\alpha) - f_2(\alpha) - f_8(\alpha)) $$

Por lo tanto,$b = -26$. Deje $\gamma = \alpha + f_4\alpha$, por lo que el $\gamma + f_2(\gamma) = -1$, y $$ \gamma \ f_2(\gamma) = (\zeta + \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta^{-4} + \zeta^{-3} + \zeta^{-2})(\zeta^2 + \zeta^5 + \zeta^6 + \zeta^{-6} + \zeta^{-5} + \zeta^{-2}) = \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^5 + 2\zeta^6 + \zeta^{-6} + 2\zeta^{-5} + 3\zeta^{-4} + 2\zeta^{-3} + 2\zeta^{-2} + 2\zeta^{-1} + (\zeta \leftrightarrow \zeta^{-1}) = 3(\zeta + \dots + \zeta^{-1}) = -3$$

La última cosa a calcular es: $$ c = 9(\gamma - f_2(\gamma))^2 = 9\bigl((\gamma + f_2\gamma)^2 - 4\gamma \ f_2\gamma\bigr) = 9\bigl( 1 - 4(-3)\bigr) = 9\times 13$$

Por lo tanto $q(z) = z^4 + 26 z^2 + 9\times 13 = (z^2 + 13)^2 - 4\times 13$, completando la prueba.

1voto

Sahas Katta Puntos 141

Sencillo para WA, no así con la mano: Deje $x = \exp(i \theta)$ ser una primitiva $13$th raíz de la unidad y de la $y = \tan(\theta) + 4 \sin(3\theta)$. A continuación, $(x, y)$ es común a cero de los polinomios $$i (x^2-1) x^3 + 2i (x^6-1)(x^2+1) + y (x^2+1)x^3 \textrm{ y}\\ x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$$

La resultante de estos polinomios en la variable $x$$(y^4-26y^2+117)^3$. Las raíces de este resultado son los posibles valores de $y$ para las diferentes opciones de $x$. Desde $\sin(6 \pi/13)$ es cercano a uno el valor de $y$ en este caso específico debe ser $\sqrt{13+2\sqrt{13}}$.

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