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Qué $ \sqrt[n]{\left\lvert \sin(2^n) \right\rvert} $ tiene un límite?

Toda la cuestión está esencialmente determinado en el título: Para $ n $ un entero positivo, ¿la secuencia de $ x_n = \sqrt[n]{\left\lvert \sin(2^n) \right\rvert} $ tiene un límite de $ n \to \infty $?


Antecedentes: Una de las preguntas en una reciente lote de tareas me marcó fue investigar la convergencia o divergencia de las series infinitas $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2^n)}{2^n} \, . $$ Obviamente, esta serie converge absolutamente en comparación, ya que $$ \left\lvert \frac{\sin(2^n)}{2^n} \right\rvert \leq \frac{1}{2^n} \, , $$ y $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $ es convergente serie geométrica con razón común $ r = \frac{1}{2} $. Esta es la solución que se ofrece en la solución de la hoja, y esencialmente la forma en que la mayoría de la gente resuelto la cuestión.

Sin embargo, una secuencia de comandos de intento de uso de la raíz de la prueba para determinar si es o no la serie convergente. Por lo tanto, vamos a $ a_n = \frac{\sin(2^n)}{2^n} $, entonces uno necesita para determinar el límite de $ n \to \infty $ de $$ \sqrt[n]{\left\lvert a_n \right\rvert} = \sqrt[n]{\left\lvert \frac{\sin(2^n)}{2^n} \right\rvert} = \frac{1}{2} \sqrt[n]{ \left\lvert \sin(2^n) \right\rvert } \, , $$ lo que me lleva a la pregunta del título. ¿La secuencia de $ x_n = \sqrt[n]{ \left\rvert \sin(2^n) \right\rvert } $ tienen un límite, o no?

Yo no puedo convencerme a mí misma de cualquier manera, si esta secuencia tiene un límite o no. Puesto que hay una mucho mejor manera de determinar la convergencia de la serie infinita, que no valía la pena gastar demasiado tiempo en averiguar si es o no la solución funcionó. Pero todavía estoy curioso acerca de ella, así que ¿alguien puede resolver esta pregunta para mí, de una manera o de la otra?


Pensamientos: Si se $ f(x) = \sqrt[x]{ \left\lvert \sin(2^x) \right\rvert } $,$ x > 0 $, a continuación, puede ver fácilmente $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ no existe. Basta con mirar a las subsecuencias $ f(\log_2(n\pi)) = 0 $, e $ f(\log_2(n\pi + \frac{1}{2}\pi)) = 1 $, los que tienen los límites de $ 0 $ $ 1 $ respectivamente,$ n \to \infty $.

La restricción para $ x_n = f(n) $, $ n $ un entero positivo, parece mucho más difícil pregunta. Mi reacción instintiva es decir $ \sin(2^n) $ es un "caótico" /mal comportamiento de la secuencia, que $ x_n $ no puede tener un límite. Pero esto no es en absoluto una prueba, y no puedo justificar a mí mismo nada mejor que esto. Por otro lado, algunos cálculos numéricos con Maple sugieren la secuencia podría ser acercando al límite $ 1 $.

Supongo que la pregunta de si esta secuencia tiene un límite está ligado fuertemente a cómo cerrar $ 2^n $ llega a un racional múltiples de $ \pi $, lo que nos sitúa en el reino de Diophantine aproximación (sobre el que sé poco). Más específicamente, ¿qué límites en términos de $ n $ puede estar puesto en la diferencia de $ \left\lvert 2^n - b \pi \right\rvert $. En este sentido, me han dicho que la función de $ \sin(2^n) $ es denso en $ [0,1] $, y que esta es no evidente. Pero por sí mismo no creo que esto es suficiente para concluir de una manera o de otra. De forma heurística: dependiendo de qué tan pronto se $ \sin(2^n) $ se acerca a 0, la $ n $-ésima raíz puede ser suficiente para forzar esta cerca de la 1 de todos modos.

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gabr Puntos 20458

A pesar de partir como una cuestión de la convergencia de la serie, este parece ser un problema de Diophantine aproximación.

En lugar de mirar a $2^n (\text{mod } \pi)$ buscar en el binario de expansión $\frac{1}{\pi}2^n (\text{mod } 1)$. Entonces me encontré con este resultado en un papel y este blog:

Lema: No existe la órbita de los cierres de $\{2^nx\}_{n\geq0}$ de cualquier dimensión de Hausdorff entre 0 y 1.

Teorema:(Furstenberg) de La órbita de cierre de $\{2^m 3^n x\}_{m,n\geq0}$ es $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ o finito, de acuerdo a si $x$ es irracional o racional.

Más información sobre la dinámica del mapa $x \mapsto 2x (\text{mod }1)$ está cubierto en esta tesis de Maestría de Johan Nilsson, Estructuras Fractales en Diádica Diophantine Aproximación. Un ejemplo de este tipo de fractales conjunto podría ser $\{ x: \{2^n x\} < \frac{3}{4} \text{ for all } n\in \mathbb{N} \}$.

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