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Probabilidad de 3 cabezas en 10 tirones de la moneda

Cuál es la probabilidad de obtener 3 cabezas y colas de 7 es uno lanza una moneda al aire justo 10 veces. Simplemente no puedo averiguar cómo modelar esto correctamente.

38voto

John R. Strohm Puntos 1559

Su pregunta está relacionada con la distribución binomial.

Usted no $n = 10$ ensayos. La probabilidad de un juicio exitoso es $p = \frac{1}{2}$. Desea $k = 3$ éxitos y $n - k = 7$ fallas. La probabilidad es:

$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{10}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{7} = \dfrac{15}{128} $$

Una manera de entender esta fórmula: desea $k$ éxitos (probabilidad: $p^k$) y $n-k$ fallas (probabilidad: $(1-p)^{n-k}$). Los éxitos pueden ocurrir en cualquier lugar de ensayos, y de allí se $\binom{n}{k}$ a organizar $k$ éxitos en $n$ ensayos.

20voto

Oli Puntos 89

Podemos construir un modelo matemático del experimento. Escribe H en la cabeza y en T para la cola. Registro de los resultados de la tira como una cadena de longitud $10$, compuesta de las letras H y/o T. Así, por ejemplo, la cadena de HHHTTHHTHT significa que tenemos la cabeza, luego la cabeza, luego la cabeza, y luego una cola, y así sucesivamente.

Hay $2^{10}$ cadenas de longitud $10$. Esto es debido a que tenemos $2$ opciones para la primera letra, y para cada elección nos ha $2$ opciones para la segunda letra, y para cada opción de las dos primeras letras, tenemos $2$ opciones para la tercera letra, y así sucesivamente.

Porque se supone que la moneda es justo, y que el resultado que obtenga en la primera $6$ tiros no afecta a la probabilidad de sacar cara en la $7$-ésimo lanzamiento, cada uno de estos $2^{10}$ ($1024$) cadenas es igualmente probable. Dado que las probabilidades deben sumar a $1$, cada cadena tiene probabilidad de $\frac{1}{2^{10}}$. Así por ejemplo, el resultado HHHHHHHHHH es tan probable como el resultado HTTHHTHTHT. Esto puede tener un intuitivamente plausible siento, pero encaja muy bien con los experimentos.

Ahora supongamos que vamos a ser felices sólo si conseguimos exactamente $3$ cabezas. Para encontrar la probabilidad vamos a ser felices, podemos contar el número de cadenas que nos hará felices. Supongamos que hay $k$ tales cadenas. Entonces la probabilidad de que va a ser feliz es $\frac{k}{2^{10}}$.

Ahora tenemos que encontrar la $k$. Así que tenemos que contar el número de cadenas que tienen exactamente $3$ H. Para ello, nos encontramos con que el número de maneras de elegir donde el H, se va a producir. Así que debemos elegir $3$ lugares (de la $10$ disponibles) para el H del ser.

Podemos optar $3$ objetos de $10$ $\binom{10}{3}$ maneras. Este número es llamado también por otros nombres, tales como $C_3^{10}$ o ${}_{10}C_3$ o $C(10,3)$, y hay otros nombres también. Se denomina coeficiente binomial, porque es el coeficiente de $x^3$ cuando la expresión $(1+x)^{10}$ es expandido.

No hay una fórmula útil para los coeficientes binomiales. En general $$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.$$

En particular, $\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!7!}$. Este resulta ser $120$. Así que la probabilidad de que exactamente $3$ cabezas en $10$ tiros es $\frac{120}{1024}$.

Comentario: La idea puede ser sustancialmente generalizada. Si tiramos una moneda $n$ a veces, y la probabilidad de una cabeza en cualquier sorteo es $p$ (que no necesita ser igual a $1/2$, la moneda podría ser injusto), entonces la probabilidad de que exactamente $k$ cabezas es $$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$ Este modelo de probabilidad se llama distribución Binomial. Es de gran importancia práctica, ya que es la base de todos los simple sí/no de sondeo.

15voto

Mike Puntos 11

Usted está buscando

$$\frac{\text{Number of Relevant Outcomes}}{\text{Number ofTotal Outcomes}}.$$

El número de resultados total es $2^{10}$. El número de los resultados relevantes es el número de formas de que obtener exactamente tres cabezas en una cadena de moneda 10 flips o ${10}\choose{3}$. Entonces la respuesta es

$$\frac{{10}\choose{3}}{2^{10}}.$$

3voto

Si quieres en ese orden entonces $\dfrac{1}{2^{10}} =\dfrac{1}{1024}$

Si el orden no importa luego ${10 \choose 3}\times \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{120}{1024} =\dfrac{15}{128}$

2voto

Old John Puntos 16308

Necesita modelar esto con una distribución binomial, con $n=10$ y $p=0.5$.

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