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Existe una potencia de 2 que los últimos cinco dígitos son los 3 ' s o 6 ' s. encontrar los últimos 5 dígitos de este número

Sólo tomé una Olimpiada y me pregunto cómo se resuelve este problema.

Problema: Existe una potencia de 2 que los últimos cinco dígitos son todos de 3 o de 6. Encuentra los últimos 5 dígitos de este número.

Por favor no encuentra la solución en su computadora y luego trabajo hacia atrás ya que podría no ser capaces totalmente explicar la visión que tendría una persona que trabaja sin una computadora.

101voto

Nick D. Puntos 1387

66336:

El último dígito es 6 porque 3 no es divisible por 2.

La segunda a la última cifra es 3 porque 66 no es divisible por 4.

La tercera a la última cifra es 3 porque 636 no es divisible por 8.

La cuarta a la última cifra es 6 porque 3336 no es divisible por 16.

La quinta a la última cifra es 6 porque 36336 no es divisible por 32.

(Edit: esto es suficiente ya que $2 ^ {n} $ divide $10 ^ {n} $, por lo que no importa lo que las cifras anteriores son.)

58voto

Julian Knight Puntos 121

El único conjunto de cinco consecutivas de $3$'s y $6$'s que es divisible por $2^5$ es $66336$, por lo que esta debe ser la respuesta, ya que en base de $10$, la divisibilidad de los últimos $n$ dígitos determina la divisibilidad por $2^n$.

EDIT: es el único porque los dos últimos dígitos deben ser de $36$ para obtener la divisibilidad por $4$; $636$ no es divisible por $8$ pero $336$ es, y así sucesivamente.

EDIT: Para la última reclamación, tenga en cuenta que $10^n = 2^n\cdot 5^n$, de modo que un número de la forma $10^na+b$ es divisible por $2^n$ si y sólo si $b$ es.

12voto

zyx Puntos 20965

Hay un enterrados problema de lógica (o una pregunta con trampa) acerca de si las condiciones se pueden cumplir, y el análisis muestra que

en última instancia, la olimpiada de pregunta se basa en raíces primitivas, aunque no se utilice en cualquier parte de la solución!

El problema lógico es que

  • si no existe ningún poder de $2$, con la intención de conjunto de los últimos 5 $$ dígitos, entonces la respuesta es la nada (ex falso quodlibet) si uno retiene la existencia de la asunción, o si se rechaza, el conjunto vacío (de $5$dígitos cadenas de $3$'s y $6$'s).

  • Si la potencia necesaria de $2$ existe, pero esto no está probado, la solución sólo demuestra que si el reclamado poder de los $2$ existe, sus últimos 5 $$ dígitos son $63366$.

Para demostrar que la potencia necesaria de $2$ que existe es una forma de logaritmo discreto problema, encontrar $$ n, de modo que $2^n = 66336 \mod 100000$ (o demostrar que un $n$). Un CAS dice $n= 1196$ es el más pequeño de la solución. Sin máquina de cálculo, $2$ es una raíz primitiva módulo de poder de $5 dólares, y los números que terminan en $3$ o $6$ se invertible mod $5$, por lo que $$ n existe y es único mod $\varphi(5^5)$. Según el equipo:

2^1196 = 1076154966024109413629211106003289717723745296590543120108327301025046293202609101212342783577252885830398182439497599236786557955676041314061975617670544834041218966978499430055292493532503445244154191526191032889459105329265035575618285860377372911545948985983714623669661161736418836299827548279852992159749169546641960180764219762832432152244594446314766336.

Otro de $2$ de ser una raíz primitiva, lo que hace que la intención problema es que $10$ es divisible por $2^1$ (y no más de energía de $2$), $3$ y $6$ cubrir todos los residuos de las clases mod $2$, y ambos son relativamente primos a $\frac{10}{2}$. Un problema similar se le podría preguntar acerca de los poderes de $5$ con todos los últimos $n$ dígitos igual a $1,3,5,7$, o $9$, que es el único conjunto de dígitos que son raros y la cubierta de los residuos de las clases mod $5$. Todos los valores mod $5^n$ se puede llegar únicamente por una combinación de los dígitos, pero debido a $5$ no es una raíz primitiva módulo $4$, hay un límite para los valores de $n$ donde esto se puede hacer mod de $10^n$, y de hecho sólo $n=1$ es solucionable.

El hecho afortunado de 2 $de$ ser $5$-ádico raíz primitiva permite, para cualquier longitud deseada de la secuencia de dígitos, para impulsar el único mod de $2^n$ solución coherente con los dígitos, a un mod $10^n$ solución, es decir, uno que es el último de $n$ dígitos de una potencia de 2$$.

10voto

Ktash Puntos 113

Imagina escribir el número y, a continuación, dividir por dos varias veces (anotar sólo los últimos cinco dígitos). No sabemos lo que las cifras son, sin embargo, vamos a utilizar puntos:

..... <- n
..... <- n/2
..... <- n/4
.....
.....

Esos números son potencias de dos, así que todos están aún, así que cada uno debe terminar con un dígito. Entonces n debe terminar con 6. Pero n/2, no puede terminar con 3, así que el 10 de dígitos de n debe ser impar (es decir, 3):

...36
....8
.....
.....
.....

A continuación, n/4, puede terminar con 4, pero no con el 9, así que el 10 de dígitos de n/2 debe ser, así que vamos a utilizar 'e' en ese lugar:

...36
...e8
....4
.....
.....

Por lo que el 100 dígitos de n debe ser un número impar (3 en realidad). Así que el 10 de dígitos de n/2 es 6. Continuamos en esta línea y llegar a:

66336
.3168
..584
...92
....6

8voto

user44197 Puntos 8196

Ver rogerl la respuesta para ver qué necesita 32.

Aquí está una respuesta detallada. 1) último dígito tiene que ser un 6 (duh!)

Para los dos últimos dígitos necesitamos $$ 2^n \equiv 36 \mod 100 \\ 2^n \equiv 66 \mod 100 $$ Usted sabe que si un número es divisible por 4 y termina en 6, el dígito anterior tiene que ser impar. Así que el que tiene que ser de 36

A continuación, uno de los siguientes sostiene $$ 2^n \equiv 336 \mod 1000 \\ 2^n \equiv 636 \mod 1000 $$ Desde el 8 divide a 2^n, se tiene que dividir 336 o 636. Claramente sólo 336 extremos. Así que los 3 últimos dígitos de $2^n$ es 336.

siguiente $X336$ debe ser divisible por 16. Por lo que $X = 6$ para los cuatro últimos dígitos son 6336.

Finalmente $x6336$ debe ser divisible por 32. Por lo que $x=6$

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