Sólo tomé una Olimpiada y me pregunto cómo se resuelve este problema.
Problema: Existe una potencia de 2 que los últimos cinco dígitos son todos de 3 o de 6. Encuentra los últimos 5 dígitos de este número.
Por favor no encuentra la solución en su computadora y luego trabajo hacia atrás ya que podría no ser capaces totalmente explicar la visión que tendría una persona que trabaja sin una computadora.
66336:
El último dígito es 6 porque 3 no es divisible por 2.
La segunda a la última cifra es 3 porque 66 no es divisible por 4.
La tercera a la última cifra es 3 porque 636 no es divisible por 8.
La cuarta a la última cifra es 6 porque 3336 no es divisible por 16.
La quinta a la última cifra es 6 porque 36336 no es divisible por 32.
(Edit: esto es suficiente ya que $2 ^ {n} $ divide $10 ^ {n} $, por lo que no importa lo que las cifras anteriores son.)
El único conjunto de cinco consecutivas de $3$'s y $6$'s que es divisible por $2^5$ es $66336$, por lo que esta debe ser la respuesta, ya que en base de $10$, la divisibilidad de los últimos $n$ dígitos determina la divisibilidad por $2^n$.
EDIT: es el único porque los dos últimos dígitos deben ser de $36$ para obtener la divisibilidad por $4$; $636$ no es divisible por $8$ pero $336$ es, y así sucesivamente.
EDIT: Para la última reclamación, tenga en cuenta que $10^n = 2^n\cdot 5^n$, de modo que un número de la forma $10^na+b$ es divisible por $2^n$ si y sólo si $b$ es.
Hay un enterrados problema de lógica (o una pregunta con trampa) acerca de si las condiciones se pueden cumplir, y el análisis muestra que
en última instancia, la olimpiada de pregunta se basa en raíces primitivas, aunque no se utilice en cualquier parte de la solución!
El problema lógico es que
si no existe ningún poder de $2$, con la intención de conjunto de los últimos 5 $$ dígitos, entonces la respuesta es la nada (ex falso quodlibet) si uno retiene la existencia de la asunción, o si se rechaza, el conjunto vacío (de $5$dígitos cadenas de $3$'s y $6$'s).
Si la potencia necesaria de $2$ existe, pero esto no está probado, la solución sólo demuestra que si el reclamado poder de los $2$ existe, sus últimos 5 $$ dígitos son $63366$.
Para demostrar que la potencia necesaria de $2$ que existe es una forma de logaritmo discreto problema, encontrar $$ n, de modo que $2^n = 66336 \mod 100000$ (o demostrar que un $n$). Un CAS dice $n= 1196$ es el más pequeño de la solución. Sin máquina de cálculo, $2$ es una raíz primitiva módulo de poder de $5 dólares, y los números que terminan en $3$ o $6$ se invertible mod $5$, por lo que $$ n existe y es único mod $\varphi(5^5)$. Según el equipo:
2^1196 = 1076154966024109413629211106003289717723745296590543120108327301025046293202609101212342783577252885830398182439497599236786557955676041314061975617670544834041218966978499430055292493532503445244154191526191032889459105329265035575618285860377372911545948985983714623669661161736418836299827548279852992159749169546641960180764219762832432152244594446314766336.
Otro de $2$ de ser una raíz primitiva, lo que hace que la intención problema es que $10$ es divisible por $2^1$ (y no más de energía de $2$), $3$ y $6$ cubrir todos los residuos de las clases mod $2$, y ambos son relativamente primos a $\frac{10}{2}$. Un problema similar se le podría preguntar acerca de los poderes de $5$ con todos los últimos $n$ dígitos igual a $1,3,5,7$, o $9$, que es el único conjunto de dígitos que son raros y la cubierta de los residuos de las clases mod $5$. Todos los valores mod $5^n$ se puede llegar únicamente por una combinación de los dígitos, pero debido a $5$ no es una raíz primitiva módulo $4$, hay un límite para los valores de $n$ donde esto se puede hacer mod de $10^n$, y de hecho sólo $n=1$ es solucionable.
El hecho afortunado de 2 $de$ ser $5$-ádico raíz primitiva permite, para cualquier longitud deseada de la secuencia de dígitos, para impulsar el único mod de $2^n$ solución coherente con los dígitos, a un mod $10^n$ solución, es decir, uno que es el último de $n$ dígitos de una potencia de 2$$.
Imagina escribir el número y, a continuación, dividir por dos varias veces (anotar sólo los últimos cinco dígitos). No sabemos lo que las cifras son, sin embargo, vamos a utilizar puntos:
..... <- n
..... <- n/2
..... <- n/4
.....
.....
Esos números son potencias de dos, así que todos están aún, así que cada uno debe terminar con un dígito. Entonces n debe terminar con 6. Pero n/2, no puede terminar con 3, así que el 10 de dígitos de n debe ser impar (es decir, 3):
...36
....8
.....
.....
.....
A continuación, n/4, puede terminar con 4, pero no con el 9, así que el 10 de dígitos de n/2 debe ser, así que vamos a utilizar 'e' en ese lugar:
...36
...e8
....4
.....
.....
Por lo que el 100 dígitos de n debe ser un número impar (3 en realidad). Así que el 10 de dígitos de n/2 es 6. Continuamos en esta línea y llegar a:
66336
.3168
..584
...92
....6
Ver rogerl la respuesta para ver qué necesita 32.
Aquí está una respuesta detallada. 1) último dígito tiene que ser un 6 (duh!)
Para los dos últimos dígitos necesitamos $$ 2^n \equiv 36 \mod 100 \\ 2^n \equiv 66 \mod 100 $$ Usted sabe que si un número es divisible por 4 y termina en 6, el dígito anterior tiene que ser impar. Así que el que tiene que ser de 36
A continuación, uno de los siguientes sostiene $$ 2^n \equiv 336 \mod 1000 \\ 2^n \equiv 636 \mod 1000 $$ Desde el 8 divide a 2^n, se tiene que dividir 336 o 636. Claramente sólo 336 extremos. Así que los 3 últimos dígitos de $2^n$ es 336.
siguiente $X336$ debe ser divisible por 16. Por lo que $X = 6$ para los cuatro últimos dígitos son 6336.
Finalmente $x6336$ debe ser divisible por 32. Por lo que $x=6$
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