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Interpretación geométrica de la primitiva elemento teorema?

El primitivo elemento teorema es un resultado básico sobre el campo de extensiones. Me preguntaba si hay buena geométricas formas de visualizar o pensar. Desde el campo de los espectros son los únicos, tiene que ser sobre el no-trivial de automorfismos de puntos (creo), y no sé cómo pensar acerca de ello.

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Lubin Puntos 21941

He aquí un argumento geométrico que no tiene nada que ver con la geometría algebraica. Usted puede encontrar que es suficientemente riguroso, pero la idea es sin duda el sonido.

Considere la posibilidad de una extensión separable $K\supset k$. Una de las consecuencias de la separación es que hay sólo un número finito intermedios campos $E$, $K\supset E\supset k$. Considere la posibilidad de un número finito de la adecuada subcampos, y un vistazo a su (conjunto teórico) de la unión, y no para unir, no de su compositum, sólo su unión. Esta es una unión de un número finito de adecuada $k$-subespacios de $K$, cada una de ellas de dimensión menor que la dimensión de $n=[K:k]$ $K$ $k$- espacio. Pero sin duda, si $k$ es infinito, no se puede llenar un $n$-dimensional $k$-espacio con un número finito de subespacios de dimensión inferior. Así tiene que ser un elemento $\alpha\in K$ que no está en ningún subcampo de $K$. Entonces esto $\alpha$ por lo tanto debe generar $K$ como un campo.

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MooS Puntos 9198

Reformular el primitivo elemento teorema de la siguiente manera:

Deje $\mathfrak m \subset k[X_1, \dotsc, X_n]$ ser un ideal maximal, de tal manera que se obtiene un campo de extensión es separable. Para general $(a_1, \dotsc, a_n) \in k^n$, el mapa de $$k[T] \to k[X_1, \dotsc, X_n]/\mathfrak m, T \mapsto a_1X_1 + \dotsb + a_nX_n$$ es surjective.

Geométricamente, cualquier punto cerrado de $\mathbb A_k^n$ con separables residuo de campo (es decir, un punto suave) puede ser realizado como un punto de cierre de $\mathbb A_k^1$.


Otra interpretación geométrica es la siguiente. Para ser precisos es una consecuencia, pero no estoy seguro de si es equivalente.

Deje $X$ ser una irreductible variedad de dimensión $n-1$ a través de una perfecta campo de $k$. A continuación, $X$ es birationally equivalente a una hipersuperficie en $\mathbb A_k^n$.

Deje $K(X)$ ser el campo de función de $X$. Escoge un transdence base, es decir, una extensión finita $K(X)/k(x_1, \dotsc, x_{n-1})$. Por el primitivo elemento teorema podemos escribir esto como la extensión

$$K(X) = k(x_1, \dotsc, x_{n-1})[x_n]/(f(x_n)) = \operatorname{Frac} k[x_1, \dotsc, x_n]/(f(x_n))$$

, por lo tanto $X$ es birationally equivalente a la hipersuperficie dado por $f=0$.

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