Estaba leyendo un periódico y había un pequeño acertijo matemático, pensé "qué gracioso, va a ser fácil, hagámoslo" y aquí estoy...
El problema es el siguiente: en un granero, hay una caja cúbica de 1 metro contra una pared y una escalera de 4 metros está apoyada contra la pared, tocando la caja en su esquina. A continuación se muestra una imagen :
Entonces, el gran triángulo tiene una hipotenusa $FE$ de $4$ , el cuadrado $ABDC$ tiene lados de longitud 1 y es básicamente "insuperable" en el ángulo recto, es decir $D\in \overline{FE}$ . La pregunta es "cuál es la longitud del cateto más grande", aquí $AF$ .
Hasta ahora, ningún problema.
Aquí están mis soluciones:
- Por el teorema de intercepción de Tales, $\frac{FB}{FA}=\frac{BD}{AE}$ por hipótesis, $FB=FA-1$ y $BD=1$ . Ahora por Pitágoras, $FA^2+AE^2=FE^2$ ; por hipótesis, $FE=4$ por lo que terminamos con un sistema de ecuaciones, dejando que $h=FA, d=AE$ : $$ \begin{align} &\frac{h-1}{h}=\frac{1}{d} \\ &h^2+d^2=4^2 \end{align} $$ Lo que resuelve (eliminando 3 soluciones no relevantes) en $d \cong 1.3622$ y $h \cong 3.76091$ .
- Ahora, si considero la "función" de la línea : $f(x)=\frac{-h}{d}x+h$ Sé que $f(1)=1$ y termino con Pitágoras con el sistema : $$ \begin{align} &\frac{-h}{d}+h=1 \\ &h^2+d^2=4^2 \end{align} $$ se resuelve de nuevo en lo mismo, eliminando de nuevo 3 soluciones no relevantes
Bien, esto significa que usar Pitágoras no es bueno ya que termina dando una ecuación cuádrica (4 respuestas de las cuales 3 son "no relevantes").
- Ahora bien, si considero la longitud del arco $f(x)$ entre $0$ y $d$ tiene que ser $4$ y de nuevo $f(1)=1$ Termino con el sistema: $$ \begin{align} &\frac{-h}{d}+h=1 \\ &\int_0^d \sqrt{1+(f'(x))^2} dx =\int_0^d \sqrt{1+\left(\frac{-h}{d}\right)^2} dx = d \sqrt{1+\left(\frac{-h}{d}\right)^2} \end{align} $$ Que resuelve de nuevo en las mismas respuestas, pero esta vez eliminando sólo 2 soluciones no relevantes (es decir, da una ecuación cúbica en lugar de una cuártica).
Intenté también usar las áreas y los trangles más pequeños $FAD$ y $AED$ por ejemplo : $\frac{h \cdot d}{2} = \frac{h\cdot 1}{2}+\frac{d\cdot 1}{2}$
Sin embargo, no he sido capaz de llegar a ninguna solución "solucionable a mano" : si fuera capaz de reducirlo a alguna ecuación cuadrática, estaría bien, ya que es una suposición común, aquí, que todo el mundo ha visto la "fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas" en la escuela y por lo tanto sería capaz de resolver esto, puede que entonces vea cómo se ve como un acertijo divertido en el periódico.
Mi mejor prueba, con "sólo" una ecuación cúbica, es demasiado complicada para los lectores normales de este periódico, así que me fastidia.
¿Qué me falta? ¿Algunas propiedades básicas tal vez? Me molesta mucho no poder resolver esto sin Wolfram.
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Posible duplicado de Escalera contra la pared.
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No estoy seguro de si la pregunta debe cerrarse como un duplicado. Hay una diferencia entre: "Tengo esta ecuación de un problema de geometría, ¿cómo la resuelvo?" y "¿Cómo resuelvo este problema de geometría?" Pero incluso si deben considerarse duplicados, en mi opinión tendría mucho más sentido el sentido contrario, ya que la pregunta más nueva contiene muchos más detalles.
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Creo que debería reformular mi pregunta. La pregunta no es "Cómo resolver este problema geométrico", ni "Cómo resolver esta ecuación", sino más bien : "aquí hay 3 soluciones, de las cuales 2 son cuárticas y una cúbica, ¿cómo podría encontrar una solución más fácil, posiblemente cuadrática?"
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La afirmación del título parece ser falsa; tal vez habría que modificarla por algo así como "no es obviamente solucionable a mano"