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Cómo formular hipótesis continua sin el axioma de elección?

Por favor me corrija si estoy equivocado, pero aquí es lo que yo entiendo de la teoría de los números cardinales :

1) La definición de $\aleph_1$ tiene sentido, incluso sin elección como $\aleph_1$ es un número ordinal (cuya construcción no depende de que el axioma de elección) con un mínimo de propiedad. Con o sin opción, no hay ningún número cardinal $\mathfrak{a}$ tal que $\aleph_0 < \mathfrak{a} < \aleph_1$.

2) En ZFC, todos los números cardinales se $\aleph$ y son comparables (por el trichotomic propiedad de los ordinales). La hipótesis continua estados que $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.

3) En ZF, $2^{\aleph_0}$ no necesitas ser un $\aleph$. Sin embargo, no sé si hablar de $2^{\aleph_0}$ en ZFC tiene sentido o no.

¿Tiene sentido en ZF para definir CH a ser la afirmación de que si un conjunto es mayor que la de los números naturales, entonces debe contener una copia de los reales (hasta un reetiquetado de los elementos) no importa lo que la cardinalidad de los reales es ?

28voto

DanV Puntos 281

Estás en lo correcto de que sin el axioma de elección $2^{\aleph_0}\newcommand{\CH}{\mathsf{CH}}$ no puede ser un $\aleph$. Por lo tanto, la hipótesis continua dividida en dos no equivalentes declaraciones:

  • $(\CH_1)$ $\aleph_0<\mathfrak p\leq2^{\aleph_0}\rightarrow2^{\aleph_0}=\frak p$.
  • $(\CH_2)$ $\aleph_1=2^{\aleph_0}$.

Mientras que la segunda variante implica que la continuidad es bien ordenado, la primera no.

Se propuso una tercera variante:

  • $(\CH_3)$ $\aleph_0<\mathfrak b\rightarrow 2^{\aleph_0}\leq\mathfrak b$.

Vamos a ver qué $\CH_3\implies\CH_2\implies\CH_1$, y que ninguna de las consecuencias son reversibles.

Tenga en cuenta que si asumimos $\CH_3$, entonces tiene que ser que $2^{\aleph_0}\leq\aleph_1$ y, por tanto, debe ser igual a $\aleph_1$. Si asumimos que el $\CH_2$ se mantiene, entonces cada cardenal menor o igual que el continuo es finito o $\aleph$, lo $\CH_1$ mantiene así.

Por otro lado, hay modelos de $\sf ZF+\lnot AC$, de tal manera que $\CH_1$ mantiene y $\CH_2$ falla. Por ejemplo, Solovay del modelo en el que todos los conjuntos son Lebesgue medible es tal modelo.

Pero $\CH_2$ no implica $\CH_3$ tampoco, porque es constante que la $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, y hay algunos infinito Dedekind-conjunto finito $X$, es decir $\aleph_0\nleq |X|$. Por lo tanto, tenemos que $\aleph_0<|X|+\aleph_0$. Asumiendo $\CH_3$ significaría que si $X$ es infinito, entonces cualquiera de las $\aleph_0=|X|$ o $2^{\aleph_0}\leq|X|$. Este es sin duda falso infinito Dedekind-finito de conjuntos (uno puede hacer las cosas más fuertes, y el uso de los conjuntos que no tienen ningún subconjunto de tamaño $\aleph_1$,, mientras que Dedekind-infinito).


También se puede pensar en la hipótesis continua como una declaración diciendo que la continuidad es un cierto tipo de sucesor a $\aleph_0$. Por suerte, hay $3$ tipos de sucesión entre los cardenales en los modelos de $\sf ZF$, y puede encontrar las definiciones en mi respuesta aquí.

Es fácil ver que $\CH_1$ estados " $2^{\aleph_0}$ $1$- sucesor o $3$-sucesor de $\aleph_0$", $\CH_3$ afirma que " $2^{\aleph_0}$ $2$- sucesor de $\aleph_0$" -- aunque no explícitamente, se desprende del hecho de que he utilizado para probar $\CH_3\implies\CH_2$.

Entonces, ¿dónde se $\CH_2$ pasa aquí? No exactamente en llegar aquí. Donde $\CH_1$ $\CH_3$ son declaraciones acerca de todos los cardenales, $\CH_2$ es una declaración sólo acerca de la cardinalidad del continuo y $\aleph_1$. Con el fin de integrarla en el $i$-sucesor de la clasificación, tenemos que añadir una suposición sobre los cardenales en el universo, por ejemplo, cada cardenal es comparable con $\aleph_1$ (que en realidad es la declaración de " $\aleph_1$ $2$- sucesor de $\aleph_0$").

Con todo, la continuidad de hipótesis se pueden formular y dijo que en muchas maneras diferentes y no todos ellos van a ser equivalente en $\sf ZF$, o incluso un poco más fuerte teorías (por ejemplo,$\sf ZF+AC_\omega$).


Sin el axioma de elección, podemos tener dos nociones de la ordenación de los cardenales, $\leq$, el cual es definido por las inyecciones y $\leq^*$, el cual es definido por surjections, es decir, $A\leq^* B$ si hay surjection de $B$ a $A$ o si $A$ está vacía. Estas nociones son claramente de la misma al asumir el axioma de elección, pero a menudo se convierten en los diferentes sin ella (a menudo porque no sabemos si la equivalencia de los dos órdenes implica el axioma de elección, aunque la evidencia sugiere que el deba-todos los modelos sabemos que violen esta).

Así que podemos formular $\CH$ en un par de otras maneras. Un hecho importante es que el$\aleph_1\leq^*2^{\aleph_0}$$\sf ZF$, por lo que podemos formular $\CH_4$$\aleph_2\not\leq^*2^{\aleph_0}$. Esta formulación falla en algunos modelos, mientras que $\CH_1$ sostiene, por ejemplo, en los modelos de el axioma de determinación, como se ha mencionado por Andrés Caicedo en los comentarios.

Por otro lado, es muy fácil de llegar con modelos donde $\CH_4$ mantiene, pero los tres formulaciones de arriba fallan. Por ejemplo, el primer modelo de Cohen tiene esta propiedad.

Todos en todos, hay muchas, muchas, muchas maneras de formular $\CH$$\sf ZF$, que puede llegar a ser no equivalentes sin alguna forma de que el axioma de elección. Creo que la forma correcta es $\CH_1$, ya que capta la esencia de el Cantor de la pregunta.


Enlaces interesantes:

  1. ¿Cuál es la diferencia entre decir que no hay ningún cardenal entre el $\aleph_0$ $\aleph_1$ frente a decir que...
  2. Relación entre la Hipótesis continua y Especial Aleph Hipótesis en virtud de ZF

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