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¿Prueba de Arquímedes?

He estado luchando con un concepto con respecto a la propiedad de Arquímedes prueba. Que está mostrando mi contradicción que Para todos los $x$ en los reales, no existe $n$ en los naturales tal que $n>x$.

Bueno por lo que suponemos que los productos naturales es bordeada por encima y mostrar una contradicción.

Si los naturales está delimitado por encima, entonces tiene al menos un límite superior (supremum) decir $u$

Ahora considere el $u-1$. Desde $u=\sup(\mathbb N)$ , $u-1$ es un elemento de $\mathbb N$. (este es mi primer hipo, no del todo seguro de por qué podemos decir $u-1$$\mathbb N$)

Esto implica (de nuevo, no confía en que con esta implicación) de que existe una $m$ $\mathbb N$ tal que $m>u-1$. Un poco de álgebra conduce a $m+1>u$.

$m+1$ $\mathbb N$ $m+1>u=\sup(\mathbb N)$ , con lo que tenemos una contradicción.

Alguien puede ayudar a aclarar estas implicaciones que no estoy realmente cómodo? Gracias!

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user27515 Puntos 214

$u-1$ no puede ser un elemento de $\mathbb{N}$, pero podemos estar seguros de que $u-1 < u$. Ya que $u$ es el supremum de $\mathbb{N}$ $u-1$ no puede ser un límite superior de $\mathbb{N}$. Esto significa que hay un $n \in \mathbb{N}$ tal que $u-1 < n$. Pero entonces $n+1 \in \mathbb{N}$ y $u = (u-1)+1 < n+1$, que es la contradicción! ($u$ ya no es un límite superior de $\mathbb{N}$.)

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Abhra Abir Kundu Puntos 6773

Creo que no necesita el hecho de $u\in N$(the fact is even not true). Y para la segunda dificultad el hecho de la propiedad del supremum. $u-1$ No es un límite superior por lo que existe un número natural mayor que él.

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user77904 Puntos 28

Prueba: Asumir una contradicción que $\mathbb{N}$ está delimitado por encima. Luego existe el axioma de completitud, por la propiedad de aproximación con $\sup\mathbb{N}$, $ε = 1/2$ existe $k ∈ \mathbb{N}$ $$\sup \mathbb{N} − \frac{1}{2} < k < \sup \mathbb{N} +\frac{1}{2} $ $ pero entonces $k + 1 ∈ \mathbb{N}$ y $k + 1 > \sup \mathbb{N} + 1$, una contradicción.

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