10 votos

¿Cuál es la idea detrás del tensor de curvatura de Riemann?

La curvatura de Riemann tensor puede ser expresado usando los símbolos de Christoffel como este:

$R^m{}_{jkl} = \partial_k\Gamma^m{}_{lj} - \partial_l\Gamma^m{}_{kj} + \Gamma^m{}_{ki}\Gamma^i{}_{lj} - \Gamma^m{}_{li}\Gamma^i{}_{kj}$

¿Cómo llegaron a esto? ¿Cuál fue la idea?

He buscado en la web pero las descripciones que he encontrado eran demasiado formal, y yo era incapaz de descifrar lo que el autor intenta describir.

Así que estoy buscando algunas ideas o un papel fácil que puede comenzar a partir y se derivan de esta fórmula a mí mismo.

11voto

joshphysics Puntos 34367

La idea es que queremos para definir algunas noción de curvatura para un colector que intuitivamente se está de acuerdo con la intuición que tenemos acerca de la curvatura.

El genio de la visión que conduce a la deseada definición de la noción de transporte paralelo. Hablando no rigurosamente aquí, la idea básica es que si el transporte de un vector tangente en un colector paralelo a sí mismo todo el camino alrededor de una curva cerrada, entonces el vector vendrá de nuevo a sí mismo en espacios planos, pero se convertirá en un vector diferente en un espacio curvo.

Para ver por qué la noción de transporte paralelo tiene nada que ver con la curvatura, pensar por ejemplo, en el plano Euclidiano $\mathbb R^2$ en comparación con las dos dimensiones de la esfera $S^2$.

Considere la curva que consiste en un triángulo equilátero con un vértice en el origen. Ahora imagina la colocación de un vector que emana desde el origen, y de imaginar pasar que el vector a lo largo del triángulo, manteniendo su "cola" en el triángulo, y asegurándose de mantener el vector paralelo a sí mismo todo el tiempo. Si el vector de transporte de una vez alrededor del triángulo de vuelta al origen de esta manera, luego de recibir el mismo vector de la espalda.

Algo radicalmente diferente ocurre si haces lo mismo en la esfera como en el siguiente diagrama de la página de la wiki en paralelo de transporte indica

enter image description here

Si mueve un vector desde Un punto de volver a sí mismo a lo largo de la curva indica en el diagrama, el vector de no retorno a sí mismo. Esto sucede porque la esfera es curvo.

De hecho, la noción de transporte paralelo puede ser utilizado para caracterizar completamente lo que queremos decir por curvatura. La lógica que usted encontrará en muchos de los libros sobre los recursos genéticos y la geometría diferencial es más o menos la siguiente:

  1. Definir la noción de una conexión (básicamente esto define lo que entiende usted por tomar derivados en el colector).

  2. El uso de la conexión a definir la noción de transporte paralelo a lo que está de acuerdo con nuestra intuición de transporte paralelo, por ejemplo, en la esfera del ejemplo anterior.

  3. Demostrar que no es un tensor que mide con precisión cuánto los componentes de un vector cambia cuando es paralelo transportados a lo largo de una pequeña curva cerrada en el colector.

  4. Llame a este tensor del tensor de Riemann, y utilizarlo como el objeto que capta la noción de curvatura.

Hay una gran discusión de esto en un montón de libros. Personalmente, me gusta la discusión en las páginas 36-38 de Wald de la Relatividad General.

Adenda. Wald realidad muestra que si usted se considera una curva de delimitación de un pequeño de dos dimensiones parche parametrizada por las coordenadas $s$ $t$ del colector, el cambio $\delta v^a$ en las componentes de un vector transportados a lo largo de la frontera de este parche satisface \begin{align} \delta v^a = \delta t\,\delta s\, v^dT^cS^bR_{cbd}^{\phantom{cbd}a} \end{align} donde $\delta t\,\delta s$ es el área del parche, y $T^c$ $S^b$ son las tangentes a las curvas de constante $s$ $t$ respectivamente.

3voto

Ver Joshphysic la respuesta para los detalles, me gustaría añadir un poco de "descripción general" de los comentarios. Lo esencial, las ideas fundamentales que aquí están:

  1. La desviación del postulado de las paralelas de Euclides (ver página Wiki "postulado Paralelo");
  2. Cómo "mal" campos vectoriales en el múltiple de que se trate no sea integrable (véase el prólogo a la página de la Wiki en "Riemann Tensor de Curvatura" ) a una isometría con una verdadera Euclidiana colector (es decir,$\mathbb{R}^N$)

La desviación en (1) es cero si y sólo si el tensor de curvatura y la torsión de tensor de desaparecer. La desviación en (2) se mide por el tensor de curvatura como en Joshphysics la respuesta de por su "no holonomy" es decir, cómo mucho un transporte paralelo de un vector de prueba alrededor de un pequeño bucle varía dividido por el bucle del "área". El teorema fundamental de la geometría de Riemann muestra que no siempre se puede definir una única conexión (la de Levi-Civita de conexión) que absorbe la torsión en la curvatura, por lo que ambos conceptos anteriormente, se aborda plenamente por $\mathbf{R}(X,Y)$. La mayoría de los GR se hace con esta elección, por lo que la torsión no se discute mucho. Pero es todavía vale la pena leer sobre esto, como usted aprender acerca de la curvatura. Torsión toma un papel fundamental en Einstein-Cartan teoría, pero estoy soltando nombres aquí, como el Sargento Schultz, yo no sé nada acerca de esto - este es un futuro proyecto intelectual para mí.

Joshphysic de Wald de referencia es buena, también me gusta Schutz del tratamiento de las ideas dadas en el Capítulo 6 de su "Geométrico de los Métodos de la Física Matemática". Su versión más reciente de "Un Primer Curso de teoría General de la Relatividad" es un poco de luz sobre estos conceptos, como él mismo ha tenido que cambiar algunos de los materiales a su "Geométrico de los Métodos de" libro para dar paso a las discusiones de la experimentación con el GR, que es un campo excitante en el momento.

De paso, echa un vistazo a algunos encantadora diagramas de ver esta respuesta que Bakhoda me escribió en Matemáticas SE.

Si usted está dispuesto a hacer un poco de trabajo, usted puede activar el capítulo 14 de Roger Penrose "Camino a la Realidad" (llamado "Cálculo de los Colectores""). De la simple lectura de este te dará un buen nivel superior de comprensión. Si vas hacia atrás y hacer todos los ejercicios, su comprensión será bastante completa - aunque este es un proyecto bastante.

Otra descripción básica de estas ideas se da en el Capítulo 3 de Wulf Rossmann "Conferencias sobre la Geometría Diferencial". Se puede descargar desde allí: Rossmann es un poco de un matemático de Feynman - trabajando incansablemente para buscar la más clara y la más elemental de las descripciones de las cosas.

Por otro leer con un Penrose-esque sabor con el más magnífico y dibujados con cariño diagramas que jamás hayas visto, las partes pertinentes de Misner, Thorne y Wheeler es buena, pero esto es monstruoso volumen y no lo tengo delante de mí, así que no puedo decirte donde encontrarlo. Pero debería ser bastante obvio si usted consigue sus manos en una copia.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X