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Demuestre que si$\varphi(1_R) \ne 1_s$ entonces$\varphi(1_R)$ es un divisor cero en$S$.

Deje $R$ $S$ ser distinto de cero anillos con identidad y denotan su respectivas identidades por $1_R$$1_S$. Deje $\varphi: R \to S$ ser un distinto de cero homomorphism de los anillos.

Probar que si $\varphi(1_R) \ne 1_s$ $\varphi(1_R)$ es un cero divisor en $S$.

He visto muchas variaciones de este problema en otros lugares en el MSE, pero ninguno en esta forma particular. Tengo los siguientes:

Desde $\varphi$ es un homomorphism, se deduce que el $\varphi(1_R) = \varphi(1_R) \varphi(1_R)$; y así

$$\varphi(1_R)1_S = \varphi(1_R) \varphi(1_R) \implies \varphi(1_R)[1_S - \varphi(1_R)] = 0. $$

Desde $\varphi(1_R) \ne 1_S$ por supuesto, cualquiera de las $\varphi(1_R)$ es un divisor de cero (en cuyo caso, hemos terminado) o $\varphi(1_R) = 0$.

Aquí es donde estoy atascado porque no veo por qué no $\varphi(1_R)$ no puede ser igual a $0$. En efecto, el enunciado del problema dice que $\varphi$ es un valor distinto de cero homomorphism de los anillos, pero ¿hay alguna razón por la que acaba de $1_R$ no puede estar en ker$(\varphi)$?

7voto

Dietrich Burde Puntos 28541

Si$\phi(1_R)=0$, entonces tenemos para todos$r\in R$ $$ \ phi (r) = \ phi (1_Rr) = \ phi (1_R) \ phi (r) = 0, $$ por lo tanto$\phi=0$, que se excluyó.

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